12. 1 二元一次不等式( 组) 及简单的线性规划问题-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

第十二章 　 线性规划、推理与证明、算法初步 12. 1　 二元一次不等式(组) 及简单的线性规划问题 考点一　二元一次不等式(组) 与平面区域 1. 二元一次不等式表示的平面区域 一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不 等式 Ax + By +C > 0 表示直线 Ax + By + C = 0 某 一侧所有点组成的平面区域,把直线画成虚线, 以表示区域不包括边界. 不等式 Ax + By + C ≥ 0 表示的平面区域包括边界,把边界画成实线. 用二元一次不等式表示平面区域大致可分 为以下四种情形: (1)Ax + By + C ≥ 0(A > 0,B > 0,C < 0), 如图 ① 所示; (2)Ax + By + C ≤ 0(A > 0,B > 0,C < 0), 如图 ② 所示; (3)Ax + By + C ≤ 0(A > 0,B < 0,C > 0), 如图 ③ 所示; (4)Ax + By + C ≥ 0(A > 0,B < 0,C > 0), 如图 ④ 所示. 2. 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组表示的平面区域是各 个不等式表示的平面区域的交集,即各个不等 式表示的平面区域的公共部分. 3. 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判断 (1) 特殊点法 选取直线某一侧区域内任意一点代入 Ax + By + C,根据结果的正负即可判断 Ax + By + C > 0(或 < 0) 表示的是直线的哪一侧区域. 若 C ≠ 0,一般选取原点(0,0) 进行检验;若 C = 0,一般 取(0,1) 或(1,0) 进行检验. (2) 系数法 ① 利用系数 A 的符号与不等式的符号进行 判断 A > 0 Ax + By + C > 0 表示直线右方的区域 Ax + By + C < 0 表示直线左方的区域 　 　 ② 利用系数 B 的符号与不等式的符号进行 判断 B > 0 Ax + By + C > 0 表示直线上方的区域 Ax + By + C < 0 表示直线下方的区域 B < 0 Ax + By + C > 0 表示直线下方的区域 Ax + By + C < 0 表示直线上方的区域 考点二　简单的线性规划问题 1. 简单的线性规划问题的有关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x,y 组成的不等式(组) 线性约束条件 由变量 x,y 组成的一次不等式(组) 目标函数 关于 x,y 的函数解析式 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 续表 名称 意义 线性目标函数 关于 x,y 的一次函数解析式 可行解 满足约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可 行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值或最小值问题 2. 常见目标函数的类型 (1) 线性目标函数 截距型:形如 z = ax + by(b ≠ 0) 的目标函 数,可以转化为 y =- a b x + z b ,利用直线在 y轴上 的截距最大或最小确定目标函数的最大值或最 小值. (2) 非线性目标函数 ①斜率型:形如 z = y x 表示可行域内的点(x, y) 与原点连线的斜率,形如 z = y - b x - a 表示可行域 内的点(x,y) 与点(a,b) 连线的斜率. ② 点到点的距离型:形如 z = x2 + y2 表示 可行域内的点(x,y) 与原点的距离, 形如 z = (x - a) 2 + (y - b) 2 表示可行域内的点 (x, y) 与点(a,b) 的距离. ③ 点到直线的距离型:形如 z =| Ax + By + C | 表示可行域内的点(x,y) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离的 A2 + B2 倍. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　不含参数的平面区域问题 例 1 (2023 届 四 川 阶 段 练 ) 不 等 式 组 2x + y - 6 ≤ 0, x + y - 3 ≥ 0, y ≤ 2 ì î í ï ï ï ï 表示的平面区域的面积为 (　 　 ) A. 1 B. 1 2 C. 2 D. 5 2 作出不等式组 2x