8. 6 空间向量与立体几何-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

8. 6　 空间向量与立体几何 考点一　空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系及有关概念 (1) 空间直角坐标系 以空间一点 O 为原点,给定正方向及相同的 单位长度,建立三条两两垂直的数轴:x 轴、y 轴、 z 轴. 这时我们建立了一个空间直角坐标系Oxyz, 其中O为坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴. 通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. (2) 右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,当右手拇指指向 x 轴 的正方向,食指指向 y 轴的正方向时,中指指向 z 轴的正方向,称这个坐标系为右手直角坐标系. (3) 空间点的坐标 空间一点M的坐标用有序实数组(x,y,z) 表 示,记作 M(x,y,z),其中 x,y,z 分别叫做点 M 的 横、纵、竖坐标. 2. 空间两点间的距离 设点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则| AB | = (x1 - x2) 2 + (y1 - y2) 2 + ( z1 - z2) 2 . 特别地,点 P( x,y,z) 到坐标原点 O 的距 离 | OP | = x2 + y2 + z2 . 3. 中点坐标公式 设点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2) 是空间中两 点,则线段 AB 的中点坐标为( x1 + x2 2 , y1 + y2 2 , z1 + z2 2 ) . 考点二　空间向量及其运算 1. 空间向量的相关概念 名称 定义 空间向量 在空间中,具有方向和大小的量为空间向量,其大 小叫做向量的长度或模 续表 名称 定义 单位向量 长度或模为 1 的向量 零向量 长度或模为 0 的向量 相等向量 方向相同且大小相等的向量 相反向量 方向相反且大小相等的向量 共线向量 若表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,则 称这些向量为共线向量或平行向量,a 平行于 b,记 作a ∥ b 共面向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量 2. 空间向量的有关定理 (1) 共线向量定理 对空间任意两个向量 a,b(b ≠ 0),a ∥ b 的 充要条件是存在唯一的实数 λ,使得 a = λb. (2) 共面向量定理 如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向 量 a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数 对(x,y),使得 p = xa + yb. (3) 空间向量基本定理 如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任 一向量 p,存在唯一的有序实数组{x,y,z},使得 p = xa + yb + zc. 其中{a,b,c} 叫做空间的一 个基底. 3. 空间向量的数量积及运算律 夹角 → ⇒ ∠AOB 称为 a 与 b 的夹角,记作〈a,b〉 夹角 范围 → 0 ≤ 〈a,b〉 ≤ π 特殊情形〈a,b〉 = π 2 ⇔a ⊥ b( ) 数量积 → a·b = | a |·| b | cos 〈a,b〉 运算律 → (1)(λa)·b = λ(a·b),λ ∈ R; (2) 交换律:a·b = b·a; (3) 分配律:a·(b + c) = a·b + a·c ì î í ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 221　　　直击双 1流　高考数学 4. 空间向量的坐标运算 设 a = (a1,a2,a3) ≠ 0,b = (b1,b2,b3) ≠ 0. 空 间 向 量 的 坐 标 运 算 共线 → a ∥ b⇔a = λb⇔a1 = λb1 , a2 = λb2 ,a3 = λb3(λ ∈ R) 垂直 → a ⊥ b⇔a·b = 0⇔a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 数量积 → a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3 模 → | a | = a·a = a21 + a22 + a23 夹角 → cos〈a,b〉 = a·b | a | | b | = a1b1 + a2b2 + a3b3 a21 + a22 + a23 · b21 + b22 + b23 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 考点三　空间向量的应用 1. 直线的方向向量与平面的法向量 (1) 直线的方向