8. 5 空间直线、平面的垂直-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

8. 5　 空间直线、平面的垂直 考点一　直线与平面垂直 1. 直线与平面垂直 条件:直线与平面内任一条直线都垂直. 结论:直线与平面垂直. 2. 直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此平 面垂直(线线垂直 ⇒ 线面垂直) 　 a,b ⊂ α a ∩ b = O 　 　 l ⊥ a 　 　 l ⊥ b ü þ ý ï ï ï ï ⇒l ⊥ α 性 质 定 理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 a ⊥ α b ⊥ α} ⇒a ∥ b 　 　 1. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直; 　 2. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 3. 直线与平面所成的角 (1) 平面的一条斜线和它在平面上的射影 所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角. (2) 直线与平面所成的角的取值范围是 [0°,90°],当直线与平面垂直和平行(或直线在 平面内) 时, 规定直线和平面所成的角分别为 90° 和 0°. 考点二　平面与平面垂直 1. 半平面 平面上的一条直线将平面分割成两部分,每 一部分叫做半平面. 2. 二面角 (1) 二面角的相关概念 从一条直线出发的两个半平面组成的图形 叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,两个半 平面叫做二面角的面. 如图,α,β 是二面角的面,l 是二面角的棱. (2) 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平 面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所 成的角叫做二面角的平面角. 如图,OB ⊥ l, OA ⊥ l,∠AOB 是二面角的平面角. 二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位 置无关,二面角的大小用它的平面角的大小来度量. (3) 二面角的范围 设二面角的平面角为 θ,则 θ ∈ [0,π] . (4) 直二面角 当 θ = π 2 时,二面角为直二面角. 3. 平面与平面垂直 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 711第八章　立 体 几 何 　　　 面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 4. 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面过另一 个平面的垂线,则 这两个平面互相 垂直 l ⊂ β l ⊥ α} ⇒α ⊥ β 续表 文字语言 图形语言 符号语言 性 质 定 理 两个平面互相垂 直,则一个平面内 垂直于交线的直 线垂直于另一个 平面 　 　 α ⊥ β 　 　 l ⊂ β α ∩ β = a 　 　 l ⊥ a ü þ ý ï ï ï ï ⇒l ⊥ α 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　线、面垂直的判定与性质 例 1 如图所示, 在四棱锥 P - ABCD 中, PA ⊥ 底面 ABCD,AB ⊥ AD,AC ⊥ CD,∠ABC = 60°,PA = AB = BC,E 是 PC 的中点. 证明: (1)CD ⊥ AE; (2)PD ⊥ 平面 ABE. (1)∵ PA ⊥ 底面 ABCD, CD ⊂ 平 面 ABCD, ∴ PA ⊥ CD. ∵ AC ⊥ CD,PA∩ AC = A,PA⊂ 平面 PAC, AC ⊂ 平面 PAC, ∴ CD ⊥ 平面 PAC. 又 AE ⊂ 平面 PAC, ∴ CD ⊥ AE. (2) 由 PA = AB = BC,∠ABC = 60°, 可得 AC = PA. ∵ E 是 PC 的中点, ∴ AE ⊥ PC. 由(1) 知 AE ⊥ CD. ∵ PC ∩ CD = C,PC ⊂ 平面 PCD,CD ⊂ 平 面 PCD, ∴ AE ⊥ 平面 PCD. 又 PD ⊂ 平面 PCD, ∴ AE ⊥ PD. ∵ PA ⊥ 底面 ABCD, ∴ PA ⊥ AB. 又 AB⊥AD且PA∩AD =A,PA⊂平面PAD, AD ⊂ 平面 PAD, ∴ AB ⊥ 平面 PAD. 又 PD ⊂ 平面 PAD, ∴ AB ⊥ PD. 又 AB ∩ AE = A,AB ⊂ 平面 ABE,AE ⊂ 平 面 ABE, ∴ PD ⊥ 平面 ABE. 例 2 如