8. 3 空间点、直线、平面之间的位置关系-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

8. 3　 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点一　平面的基本性质 1. 点 A 在直线 a 上,记作 A ∈ a;点 A 在平面 α内,记作 A∈ α;直线 a在平面 α内,记作 a ⊂ α. 2. 三个基本事实的 “ 图形语言”“ 文字语 言”“符号语言” 基本事实 1 基本事实 2 基本事实 3 图 形 语 言 文 字 语 言 过不在一条直线 上的三个点, 有 且只有一个平面 如果一条直线上 的两个点在一个 平面内, 那么这 条直线在这个平 面内 如果两个不重合 的平面有一个公 共点, 那么它们 有且只有一条过 该点的公共直线 符 号 语 言 A,B,C不共线 ⇒ A,B,C确定平面 α A ∈ l,B ∈ l, A ∈ α,B ∈ α{ ⇒ l ⊂ α P ∈ α,P ∈ β⇒ α ∩ β = l, P ∈ l{ 　 　 3. 三个推论 推论 1:经过一条直线和直线外一点,有且只 有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 考点二　空间中直线与直线的位置关系 1. 空间直线位置关系的分类 共面直线 相交直线:同一平面内,有且只有一 个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; ì î í ï ï ï ï 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点. ì î í ï ï ï ï ïï 两条异面直线既不相交也不平行. 2.基本事实 4:平行于同一条直线的两条直 线平行 符号语言:a,b,c 是三条直线,若 a ∥ b,b ∥ c,则 a ∥ c. 作用:判断空间中两条直线平行. 推广:在空间中,平行于一条已知直线的所 有直线都互相平行. 3. 异面直线所成的角 (1) 定义:设 a,b是两条异面直线,经过空间 中任一点O作直线a′ ∥ a,b′∥ b,把 a′与 b′所成 的锐角(或直角) 叫做异面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角) . (2) 范围:(0,π 2 ] . 4. 等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补. 考点三　空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线 a 在 平面 α 内 a ⊂ α 有无数个公共点 直 线 在 平 面 外 直 线 a 与平面 α 平行 a ∥ α 没有公共点 直 线 a 与平面 α 相交 a ∩ α = A 有且只有 一个公共点 考点四　空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 α ∥ β 没有公共点 两 平 面 相 交 斜交 α ∩ β = l 垂直 α ⊥ β 且 α ∩ β = a 有一条公共直线 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 011　　　直击双 1流　高考数学 题型一　 空间点、直线、平面的位置关系 的判定 例 1 (2022 届南昌期中) 如图, 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中,O是DB的中点,直线 A1C交 平面 C1BD 于点 M,则下列结论正确的是 (　 　 ) ①C1,M,O 三点共线; ②C1,M,A,C 四点共面; ③C1,O,B1,B 四点共面; ④D1,D,O,M 四点共面. A. ①②③ B. ①②③④ C. ①② D. ③④ 连接 AC,易得 O 是线段 AC 的中点. 又 AC ⊂ 平面 ACC1A1, ∴ O ∈ 平面 ACC1A1 . ∵ O ∈ BD,BD ⊂ 平面 C1BD, ∴ O ∈ 平面 C1BD, ∴ O 是平面 ACC1A1 和平面 C1BD 的公共点. ∵ M ∈ A1C,A1C ⊂ 平面 ACC1A1, ∴ M ∈ 平面 ACC1A1 . 又 M ∈ 平面 C1BD, ∴ 点 M 是平面 ACC1A1 和平面 C1BD 的 公共点. 易得 C1 是平面 ACC1A1 和平面 C1BD 的 公共点, ∴ C1,M,O在平面 ACC1A1 和平面C1BD的交 线上,因此 ① 正确. ∵ M ∈ 平面 ACC1A1, ∴ ② 正确. 连接 C1O,根据异面直线的定义可得 BB1 与 C1O 为异面直线, 故 C1,O,B1,B 四点不共面,故 ③ 不正确. 连接 MO,根据异面直线的定义可得 DD1 与 MO 为异