专题28 定弦定角-【题型方法解密】2023年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）

专题28 定弦定角 模型的概述：因为同圆或等圆中等弦所对的圆周角相等，所以当弦的长度保持不变和弦所对应的角度大小固定时，动点的轨迹就是圆或者圆弧。 如图，已知AB为定线段，P为动点，且∠APB=α，则A、B、P三点必共圆，或称为点P一定在以AB为弦的某一个圆上，且这个圆是固定的，圆心在线段AB的垂直平分线上，动点P的运动轨迹为关于线段AB对称的圆弧上（①∠APB<90°，在线段AB对称的优弧上运动 ②∠APB>90°，在线段AB对称的劣弧上运动），但不包括A、B两点。 定弦定角问题常应用于求线段的“最值”，问题的关键就在于找到运动过程中必存在的定线段，及这条线段关于某一动点的张角为定值，由张角的变化，去寻找这三点所构成的定圆。 【练习】如图，已知AB=2，点C为动点，且∠ACB=30°、45°、60°，画点C的运动轨迹，求△ABC外接圆半径。 【提问】在△ABP中, ∠P=α,AB=2x. 1）求△ABP中AB边所对的高的最值。 2）求△ABP面积的最值。 【提示】这个模型就是我们所谓的定角定弦模型,也就是在一个三角形中一个角和它的对边保持不变,在AB边固定的同时,虽然∠P的大小不变,但顶点P的位置可以发生变化P,由于同弧所对的圆周角不变,故顶点P可以在△ABP的外接圆的BC这段弦所对的圆弧上运动（不包括B,C两点）。当高线PD过圆心时有最大的高,即h≤OP1+OD. 思路： 作△ABP的外接圆圆O ∵∠AP1B=α ∴∠AOB=2α 而△AOD≌△BOD ∴∠AOD=∠BOD=α AD=BD=x 在Rt△AOD中，AO=DO= 又∵AO=OP1 PC≤P1D=OP1+OD==(1+cos) （当P与P1重合时等号成立） S△ABP=PC•AB≤P1D•AB=(1+cos)=(1+cos) 【培优过关练】 1．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点E．若，，则与长度之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______． 3．（2021秋·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为__________． 4．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，已知为等边三角形，，将边绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，点E为上一点，且．连接，则的最小值为 __________________． 5．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，是边长为6的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线与直线交于点F，若点D在内，，则______；现将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段长度的最小值是______． ．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）【学习心得】 小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则． (1)【初步运用】如图，在四边形中，，，求的度数； (2)【方法迁移】如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (3)【问题拓展】 ①如图，已知矩形，，，为上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图，在中，，是边上的高，且，，求的长． 7．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 (1)如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______°，______°． (2)如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）____________． 【问题解决】 (3)如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 (4)如图4，在边长为的等边三角形中，点E、F分别是边、上的动点，连接、，交于点P，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是______． 8．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，抛物线交x轴于点，，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，交直线l：于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）设的面积为，的面积为，当时，求点