专题27 四点共圆-【题型方法解密】2023年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）

专题27 四点共圆 四点共圆的性质： 1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，∠BAC=∠BDC）； 2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，∠1=∠2）； 3) 圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，∠1=∠3）。 四点共圆的判定方法： 1）若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。 如图，若AO=BO=CO=DO，则点A、B、C、D四点共圆。 理由：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（圆的定义）。 2）共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆(可在考试中直接使用)。 如图，已知△ABC和△BCD为直角三角形，∠BAC=∠BDC=90°，点0为斜边中点 则点A、B、C、D四点共圆。 理由：连接AO、OD ∴AO=BO=CO=DO ∴点A、B、C、D四点共圆 3）同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆。 已知：在BC同侧两个三角形△ABC和△BDC,且∠BAC＝∠BDC 求证：A、B、C、D四点共圆 证明(反证法)： 过A，B，D作圆O， 交BC所在直线于C’，连结DC’， 使∠BAC＝∠BDC’ ∵∠BAC＝∠BDC ∴∠BDC＝∠BDC’ ① 又∵∠BDC与∠BDC’有相同的顶点且点C与点C’不重合 ∴∠BDC≠∠BDC’② 则①与②矛盾 ∴点C与点C’重合，则点C也在圆O上，即点A、B、C、D四点共圆 4) 对角互补四边形的四个顶点共圆。 已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180° 求证： A，B，C，D四点共圆 证明（反证法）： 过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内， 若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’， 根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180° ， ∵∠A+∠C=180° ∴∠DC’B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。 类似地可证C不可能在圆内。 ∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。 5)在 ⊙O中，弦AB、CD相交于点P,若AP•DP=BP•CP，则A、B、C、D四点共圆。 证明： 在△APB和△CPD中 AP•DP=BP•CP ∠3=∠4 ∴△APB∽△CPD ∴∠1=∠2 则A、B、C、D四点共圆 6) 若AB、CD两条线段延长后交于点P,且AP•BP=CP•DP，则A、B、C、D四点共圆。 证明： 在△APC和△DPB中 AP•BP=CP•DP ∠P=∠P ∴△APC∽△DPB ∴∠1=∠3 而∠2+∠3=180° ∴∠1+∠2=180° 则A、B、C、D四点共圆 【培优过关练】 1．（湖南省长沙市湘郡未来中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试卷）如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C． D． 2．（浙江省嘉兴市2021年中考数学真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 3．（2021年江苏省无锡市滨湖区、经开区七校联考中考二模数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2021年广东省深圳市龙岗区九年级下学期教学质量检测数学试卷（二模））如图，正方形中，、相交于点，是边上的一点，且，连接、、，线段、分别交对角线、于点、．过点作．交的延长线于．下列结论中：①；②；③；④其中正确的结论有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（江苏省宿迁市沭阳县沭阳红岩学校2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（山东省烟台市芝罘区（五四制）2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是__________． 7．（2020年湖北省武汉中考数学二模试题）如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 __________． 8．（广东省珠海市香洲区紫荆中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，△ABC中，∠BAC＝90°