专题20 导数与不等式的证明-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题20导数与不等式的证明 知识梳理 方法技巧 题型归类 题型一：移项构造函数证明不等式 题型二：换元构造法 题型三：将不等式转化为函数的最值问题 题型四：将不等式转化为两个函数的最值进行比较 题型五：分拆函数法证明不等式 题型六：放缩后构造函数证明不等式 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 解答题：共16题 一、【知识梳理】 【方法技巧】 1.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式. 2.若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)恒成立. 3.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，ex与ln x要分离，常构造xn与ln x，xn与ex的积、商形式.便于求导后找到极值点. 4.某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式ex≥x＋1，1－≤ln x≤x－1等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明. 5.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题． 6.在证明过程中，“隔离”化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．　 7.换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a，再结合所证问题，巧妙引入变量c＝，从而构造相应的函数．其解题要点为：　 联立 消参 利用方程f(x1)＝f(x2)消掉解析式中的参数a 抓商 构元 令c＝，消掉变量x1，x2，构造关于c的函数h(c)　 用导 求解 利用导数求解函数h(c)的最小值，从而可证得结论 二、【题型归类】 【题型一】移项构造函数证明不等式 【典例1】已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R). (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a＞ln ，且x＞0时，＞x＋－3a. 【典例2】证明：当x>1时，x2＋ln x<x3. 【题型二】换元构造法 【典例1】已知函数f(x)＝ln x－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．求证：x1x2>e2. 【典例2】已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R. (1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程； (2)若a＝－2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥. 【题型三】将不等式转化为函数的最值问题 【典例1】已知函数g(x)＝x3＋ax2. (1)若函数g(x)在[1,3]上为单调函数，求a的取值范围； (2)已知a>－1，x>0，求证：g(x)>x2ln x. 【典例2】已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直． (1)求a，b的值； (2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. 【典例3】已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a>0时，证明：f(x)≥. 【题型四】将不等式转化为两个函数的最值进行比较 【典例1】已知函数f(x)＝aln x＋x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝1时，证明：xf(x)<ex. 【典例2】已知函数f(x)＝ex2－xln x．求证：当x>0时，f(x)<xex＋. 【典例3】已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 【题型五】分拆函数法证明不等式 【典例1】证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＞－成立. 【典例2】已知函数f(x)＝eln x－ax(x∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 【题型六】放缩后构造函数证明不等式 【典例1】已知函数f(x)＝aln(x－1)＋，其中a为正实数．证明：当x>2时，f(x)<ex＋(a－1)x－2a. 【典例2】已知函数f(x)＝aex－1－ln x－1. (1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)证明：当a≥1时，f(x)≥0. 【典例3】已知x∈(0，1)，