专题21 导数极值点偏移问题-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题21导数极值点偏移问题 知识梳理 方法技巧 题型归类 题型一：消参减元 题型二：对称变换 题型三：比(差)值换元 题型四：对数均值不等式 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 解答题：共12题 一、【知识梳理】 【方法技巧】 众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系： ①若，则称为极值点左偏；②若，则称为极值点右偏.[来源:学_科_X_K] 1.对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下： (1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0. (2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2>x，则令F(x)＝f(x)－f. (3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性. (4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系. (5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求.　 2.含参函数问题可考虑先消去参数，其目的就是减元，进而建立与所求解问题相关的函数.　 3.比(差)值换元就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的.一般用t表示两个极值点之比(差)，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题.　 4.对数均值不等式可用对称化构造或比值换元进行证明，在解答题中，一般要先证明后应用.　 设a，b>0，a≠b，则>>，其中被称之为对数平均数，上述不等式称为对数均值不等式. 二、【题型归类】 【题型一】消参减元 【典例1】已知函数f(x)＝ln x－ax，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2，求证：x1·x2>e2. 【典例2】已知函数f(x)＝ln(ax)＋ax2－2x，a>0.设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，且x1<x2，求证：x1＋x2>2. 【题型二】对称变换 【典例1】已知函数f(x)＝－ln x＋x－a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； (2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1. 【典例2】已知函数f(x)＝＋ln x. (1)求f(x)的极值和单调区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－a(a>2)的两个零点为x1，x2，证明：x1＋x2>4. 【题型三】比(差)值换元 【典例1】已知函数f(x)＝xln x的图象与直线y＝m交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2).求证：x1x2<. 【典例2】已知函数f(x)＝－m 的两个零点为x1，x2，证明：ln x1＋ln x2>2. 【题型四】对数均值不等式 【典例1】设函数其图象与轴交于两点,且. （1）求实数的取值范围； （2）证明：为函数的导函数）； 【典例2】已知f(x)＝a－－ln x有两个零点x1，x2，且x1<x2，求证：2<x1＋x2<3ea－1－1. 三、【培优训练】 【训练一】已知函数f(x)＝xe－x. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2. 【训练二】已知函数f(x)＝xln x－mx2－x，m∈R. (1)若g(x)＝f′(x)(f′(x)为f(x)的导函数)，求函数g(x)在区间[1，e]上的最大值； (2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证：x1x2>e2. 【训练三】已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若，且，证明：． 【训练四】已知函数有两个极值点x1,x2． （1）求实数m的取值范围； （2）证明：x1x2＜4． 【训练五】已知函数f(x)＝x(1－ln x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且bln a－aln b＝a－b，证明：2<＋<e. 【训练六】已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点. (1)求a的取值范围； (2)设x1，x2是f(x)的两个零点，求证：x1＋x2<2. 四、【强化测试】 【解答题】 1. 已知函数f(x