精品解析：北京市清华大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

高一第二学期期中试卷 数学 （清华附中高22级） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 已知向量，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 当时，的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 5. 在中，，，边上高为，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 若函数的最小正周期是，且图象关于点对称，则符合条件的一个的值为（ ）. A B. C. D. 7. 已知，则，，的大小关系是（ ） A. B. C D. 8. 已知正方形的边长为1，点P是对角线上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，内角的对边分别为，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 如图，某公园有一个半径为2公里半圆形湖面，其圆心为O，现规划在半圆弧岸边取点C、D、E，且，在扇形区域内种植芦苇，在扇形区域内修建水上项目，在四边形区域内种植荷花，并在湖面修建栈道和作为观光线路.当最大时，游客有更美好的观赏感受，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知平面向量，，，，与夹角，则_______. 12. 若函数在处的切线与直线垂直，则________. 13. 已知函数，则不等式的解集为________. 14. 已知函数，则的最小值为________. 15. 已知函数，关于的不等式的解集为，其中，为常数.给出下列四个结论： ①直线是曲线的一条切线； ②； ③当时，的取值范围是； ④要使取唯一的值，仅当. 其中，所有正确结论的序号是_________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求相应的的值. 17. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，求的极小值. 18. 为了丰富社区居民文化生活，某小区准备在一块空地上建一个社区活动中心.如图，该小区内有两条互相垂直的道路与，有一块空地.以O为坐标原点，直线与为坐标轴建立坐标系，曲线是函数图像的一部分，线段是函数图像的一部分.社区活动中心的平面图是梯形（其中，点M在曲线上，点N在线段上，和为两底边）.设梯形的高为x米，梯形的面积是平方米. （1）求函数的解析式和定义域； （2）为使得社区活动中心的占地面积最大，x等于多少米?并求出最大面积. 19. 已知的内角的对边分别为，. （1）求角的大小； （2）从以下三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，求的面积. 条件①：， 条件②：， 条件③：， 注：如果选择的条件不符合要求.第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 已知函数，其中. （1）若曲线在点处的切线是轴，求的值； （2）当时，求证：； （3）若对，恒成立，求的取值范围. 21. 设k是正整数，集合A至少有两个元素，且.如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有，则称A具有性质. （1）试判断集合和是否具有性质？并说明理由； （2）若集合，求证：A不可能具有性质； （3）若集合，且同时具有性质和，求集合A中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一第二学期期中试卷 数学 （清华附中高22级） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式和对数不等式可求得集合，由交集定义可得结果. 【详解】由得：，即； 由得：，即； . 故选：B. 2. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由任意角的三角函数求出，再由两角和的正弦公式代入即可得出答案. 【详解】因为点在角的终边上， 则，， 所以. 故选：C. 3. 已知向量，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出，再由向量的夹角公式求