备考2023年中考数学压轴题训练 ——相似（1）

备考2023年中考数学压轴题训练 ——相似（1） 一、真题 1．（2022·嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1： 也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1： ．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”． （1）你赞同他的作法吗？请说明理由． （2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB． ①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数． ②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由． 2．（2022·湖州）已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S． （1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2． ①若S1=9，S2=16，求S的值； ②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2-S1=2S． （2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由． 3．（2022·贵港）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O. （1）如图1，若连接，则的形状为　 　，的值为　 　； （2）若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边. ①如图2，当与重合时，连接，若，求的长； ②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接.求证：. 4．（2022·苏州）如图 （1）如图1，在△ABC中， ，CD平分 ，交AB于点D， // ，交BC于点E. ①若 ， ，求BC的长； ②试探究 是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. （2）如图2， 和 是△ABC的2个外角， ，CD平分 ，交AB的延长线于点D， // ，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为 ，△CDE的面积为 ，△BDE的面积为 .若 ，求 的值. 5．（2022·扬州）如图1，在中，，点在边上由点向点运动（不与点重合），过点作，交射线于点. （1）分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由； ①点在线段的延长线上且； ②点在线段上且. （2）若. ①当时，求的长； ②直接写出运动过程中线段长度的最小值. 6．（2022·淮安）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点. （1）【观察发现】与的位置关系是　 　； （2）【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由； （3）如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由； （4）【综合运用】如图（3），当时，连接，延长交于点，连接，请写出、、之间的数量关系，并说明理由. 二、模拟预测 7．（2023九上·徐州期末）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为. （1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为　 　cm； （2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点； （3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由. 8．（2023九上·桂平期末）综合与时间 问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.试猜想线段BF和CG的数量关系，并加以证明. （1）数学思考：请解答上述问题. （2）问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变.若，，求的值. （3）问题拓展：