备考2023年中考数学压轴题训练 ——四边形（3）

备考2023年中考数学压轴题训练 ——四边形（3） 一、真题 1．（2022·深圳） （1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证： （2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长． （3）【拓展应用】如图③，在菱形中，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长． 2．（2022·广州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ． （1）求BD的长； （2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF， ①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积； ②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由． 3．（2022·安顺）如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点． （1）求线段的长； （2）求证四边形为菱形； （3）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 4．（2022·兰州）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， ，EP与正方形的外角 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； （1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． （2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， 是等腰直角三角形， ，连接CP，可以求出 的大小，请你思考并解答这个问题． （3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， 是等腰直角三角形， ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 周长的最小值．当 时，请你求出 周长的最小值． 二、模拟预测 5．（2023·陈仓模拟）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形. 根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF　　（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； （2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E. ①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长； ②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值. 6．（2023·遵义模拟）（1）【问题探究】如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：. （2）【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M、N分别在边、上，且，求的值. （3）【拓展应用】如图3，在平行四边形中，，，点分别在边上，点M、N分别在边、上，当与的度数之间满足什么数量关系时，有？试写出其数量关系，并说明理由. 7．（2023·南山模拟）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连． （1）如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； （2）如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； （3）如图3，已知，若，直接写出的最小值． 8．（2023·坪山模拟）将正方形的边绕点A逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点B作直线，垂足为点F，连接． （1）如图1，当时，的形状为　 　，的值为　 　； （2）当时， ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请根据图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②如图3，正方形边长为4，，，在旋转的过程中，是否存在与相似？若存在，则的值为 ▲ ，若不存在，请说明理由． 9．（2023·南山模拟）在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接． （1）将射线绕点顺时针旋转，交直线于点． ①依题意补全图1； ②小深通过观察、实验，发现线段存在以下数量关系：的平方和等于的平方．小深把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法： 想法1：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，要证的关系，只需证的关系． 想法2：将沿翻折，得到，要证的关系，只需证的关系． … 请你参考上面的想法，用等式表示线段的数量关系并证明；（一种方法即可）