备考2023年中考数学压轴题训练 ——四边形（2）

备考2023年中考数学压轴题训练 ——四边形（2） 一、真题 1．（2022·江西）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． （1）操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为　 　；当与垂直时，重叠部分的面积为　 　；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为　 　； （2）类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）； （3）拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为（设），将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示）， （参考数据：） 2．（2022·东营）和均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿运动，运动到点B、C停止. （1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）当点D运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明. 3．（2022·河南）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM. 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：　 　. （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ. ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝▲ °，∠CBQ＝▲ °； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由. （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长. 4．（2022·衡阳）如图，在菱形 中， ， ，点 从点 出发，沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，过点 作 于点 ，作 交直线 于点 ，交直线 于点 ，设 与菱形 重叠部分图形的面积为 （平方单位），点 运动时间为 （秒）. （1）当点 与点 重合时，求 的值； （2）当 为何值时， 与 全等； （3）求 与 的函数关系式； （4）以线段 为边，在 右侧作等边三角形 ，当 时，求点 运动路径的长. 5．（2022·常德）在四边形中，的平分线交于，延长到使，是的中点，交于，连接. （1）当四边形是矩形时，如图，求证：①；②. （2）当四边形是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明. 6．（2022·益阳）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′． （1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形； （2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长； （3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？ 二、模拟预测 7．（2023·蒸湘模拟）已知：如图，矩形中和中，点C在上，，，，连接，点M从点D出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，点N从点E出发，沿方向匀速运动，速度为，过点M作交于点H，交于点G.设运动时间t（s）为（）. 解答下列问题： （1）当t为何值时，？ （2）连接，作交于Q，当四边形为矩形时，求t的值； （3）连接，，设四边形的面积为S（），求S与t的函数关系式. 8．（2023·随州模拟）如图，在正方形中，点E在直线右侧，且，以为边作正方形，射线与边交于点M，连接、. （1）如图1，求证：； （2）若正方形的边长为4， ①如图2，当G、C、M三点共线时，设与交于点N，求的值； ②如图3，取中点P，连接，求长度的最大值. 9．（2023·萧县模拟）如