备考2023年中考数学压轴题训练 ——解直角三角形

备考2023年中考数学压轴题训练 ——解直角三角形 一、真题 1．如图 【问题情境】 在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放.其中 ， ， . 【问题探究】 小昕同学将三角板 绕点 按顺时针方向旋转. （1）如图2，当点 落在边 上时，延长 交 于点 ，求 的长. （2）若点 、 、 在同一条直线上，求点 到直线 的距离. （3）连接 ，取 的中点 ，三角板 由初始位置（图1），旋转到点 、 、 首次在同一条直线上（如图3），求点 所经过的路径长. （4）如图4， 为 的中点，则在旋转过程中，点 到直线 的距离的最大值是　 　. 2．如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F． （1）如图1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数； （2）如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）若AB=AC，且BD=AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出 的值． 3．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作，射线交线段于点D，将射线绕点O顺时针旋转交射线于点E，连接. （1）证明：；（用图1） （2）当为直角三角形时，求的长度；（用图2） （3）点A关于射线的对称点为F，求的最小值.（用图3） 4．在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点. （1）【观察发现】与的位置关系是　 　； （2）【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由； （3）如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由； （4）【综合运用】如图（3），当时，连接，延长交于点，连接，请写出、、之间的数量关系，并说明理由. 5．如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点． （1）求线段的长； （2）求证四边形为菱形； （3）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 6．如图，平行四边形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动． （1）如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值； （2）如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？ （3）如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由． 二、模拟预测 7．阅读下面的材料，并回答所提出的问题：如图所示，在锐角三角形中，求证： 这个三角形不是一个直角三角形，不能直接使用锐角三角函数的知识去处理，所以必须构造直角三角形，过点A作，垂足为D，则在和中由正弦定义可完成证明． 解：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，则 中，，则 所以，即 （1）在上述分析证明过程中，主要用到了下列三种数学思想方法的哪一种（　　） A．数形结合的思想； B．转化的思想； C．分类的思想 （2）用上述思想方法解答下面问题． 在中，，求和的面积． （3）用上述结论解答下面的问题（不必添加辅助线） 在锐角三角形中，，求的度数． 8．在数学学习过程中，我们总是从一些最简单的图形出发，研究其中的边角关系，然后再应用所得到的结论去解决其他较复杂的问题． （1）【基本图形】如图（1），在中，，，则　 　．（用含m，的式子表示） （2）【解决问题】在中，， ，． ①如图（2），P是边上一动点，点P关于，的对称点分别是D，E，连接，，，，请写出与的数量关系，并说明理由； ②如图（3），若P，Q，R分别是边，，上的动点，则的周长的最小值为