备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（6）

备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（6） 一、真题 1．（2022·邵阳）如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上. （1）求该抛物线的表达式. （2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标. （3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值. 2．（2022·岳阳）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点. （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式； （3）如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）. ①求点和点的坐标； ②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值. 3．（2022·株洲）阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根、有如下关系：，”.此关系通常被称为“韦达定理”.已知二次函数. （1）若，，且该二次函数的图象过点，求的值； （2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴相交于不同的两点、，其中、，且该二次函数的图象的顶点在矩形的边上，其对称轴与轴、分别交于点、，与轴相交于点，且满足. ①求关于的一元二次方程的根的判别式的值； ②若，令，求的最小值. 4．（2022·长沙）若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”. （1）①若函数，当时，求函数y的“共同体函数”h的值； ②若函数（，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式； （2）若函数，求函数y的“共同体函数”h的最大值； （3）若函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 5．（2022·怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A(﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PFAB交BC于点F. （1）求抛物线和直线BC的函数表达式， （2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长. （3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由. 6．（2022·湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c． （1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB. （Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式； （Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由. （2）如图②，直线y＝ x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y=x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围. 7．（2022·永州）已知关于的函数. （1）若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值； （2）若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围. （3）阅读下面材料： 设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面： ①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以； ②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即； ③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需. 综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为： 请根据上面阅读材料，类比解决下面问题： 若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围. 8．（2022·娄底）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点. （1）请直接写出点，，的坐标； （2）点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值. （3）点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 9．（2022·郴州）已知抛物线 与x轴相交于点 ， ，与y轴相交于点C.