2023年北京市各地九年级数学中考一模试题分类选编：勾股定理

2023年北京市各地九年级数学中考一模试题分类选编：勾股定理 一、单选题 1．（2023·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2023·北京丰台·统考一模）如图，中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点D，若点D到的距离为1，则_______． 3．（2023·北京石景山·校考一模）如图，点、、都在正方形网格的格点上，将绕点顺时针旋转后得到，点、的对应点、也在格点上，则旋转角（）的度数为__________． 4．（2023·北京海淀·清华附中校考一模）如图所示的网格是正方形网格，△ABC是_____三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 三、解答题 5．（2023·北京大兴·统考一模）下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证明． 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．已知：如图，直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． 求证：． 方法一如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． 证明 方法二如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． 证明 6．（2023·北京顺义·统考一模）已知：如图，中，，，点D在边上，点A关于直线的对称点为E，射线交直线于点F，连接． (1)设，用含的代数式表示的大小，并求的度数； (2)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 7．（2023·北京平谷·统考一模）在中，，为边中点，连接，与相交于点，过作，交于点，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)判断的数量关系，并证明． 8．（2023·北京平谷·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点，我们将点M的横纵坐标交换位置得到点．给出如下定义：对于平面上的点C，若满足，则称点C为点M的“对炫点”． 　　 (1)已知点， ①下列各点：，，中为点A的“对炫点”的是______； ②点P是直线上一点，若点A是点P的对炫点，求出点P的坐标； (2)设点是第一象限内一点，点P是直线上一点，至少存在一个点P，使得点A的对炫点也是点P的对炫点，求a、b的取值范围． 9．（2023·北京海淀·清华附中校考一模）在中，，，过点A作的垂线，垂足为D，E为射线上一动点（不与点C重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，与直线交于点G． (1)如图1，当点E在线段上时， ①依题意补全图形； ②求证：点G为的中点． (2)如图2，当点E在线段的延长线上时，用等式表示之间的数量关系，并证明． 10．（2023·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）如图，在平面角坐标系中，点在轴的正半轴上，点的坐标，过原点的直线与直线交于 (1)点坐标为______，______，的面积为______，______； (2)点关于轴的对称点的坐标为______； (3)过点作交于点，则的形状为______，请说明理由； (4)在坐标平面内是否存在点使和全等，若存在，请直接写出坐标，若不存在，请说明理由 11．（2023·北京石景山·校考一模）如图，在中，，于点D，于点E，连接. (1)依题意补全图形，猜想与之间的数量关系并证明； (2)用等式表示线段，，的数量关系；并证明. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】构造矩形， E、F分别为、的中点，设， ，将所求三角形面积转化为即可求解． 【详解】解：如图，在矩形中， E、F分别为、的中点， 设， ， ∴，， ∴在、、中，依次可得到： ， ， ， ∴ ． 故选：A 【点睛】本题考查二次根式的应用．能够通过构造矩形及直角三角形，利用等积变换将所求三角形的面积转化为矩形和几个直角三角形的面积之差．利用数形结合是解答本题的关键． 2．/ 【分析】作，根据角平分线的性质得到，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：过点D作于E，如图所示， ∵点D到的距离为1，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，理解题意作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．90 【分析】连，通过计算三边、、长度，得到三边满足勾股定理，得到即为旋转角． 【详解】连接， ，， 中 为直角三角形，为旋转角， 故答案为． 【点睛】本题考查通过勾股逆定理求目标角度，找准旋转角，找到疑似直角三角形进行边长关系的计算是解题的关键． 4．锐角 【分析】根据三边的长可作判断． 【详解】解：∵AB2＝32+12＝10，AC2＝12+42＝17，BC2＝3