1.3.2函数的极值与导数 课件-2022-2023学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

学科：数学 年级：高二年级 课题：1.3.2函数的极值与导数 观察下面函数的图象（图1和图2）回答相应的问题 图 1 图 2 【问题1】函数 y =f (x)在x0点函数值与它两侧附近的函数值之间有什么关系？ 1.极值的定义 极大值的定义：设函数 y = f (x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于或等于 f (x0)（即 f (x)≤ f (x0)），就说 f (x0)是函数 y = f (x)的一个极大值，此时x0称为 f (x)的一个极大值点 极小值的定义：设函数 y = f (x) 在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0 附近的函数值都大于或等于 f (x0)（即 f (x) ≥ f (x0)），就说 f (x0)是函数 y = f (x)的一个极小值，此时x0称为 f (x)的一个极小值点 极大值点、极小值点统称为极值点 极大值、极小值统称为极值 极值点是横坐标，极值是纵坐标 【问题2】图3中，x1，x2，x3，x4，x5这些点中哪些是极小值点？哪些是极大值点？ 【问题3】下面几种说法中正确的是（ ）（填写正确选项的序号） ①函数的极大值是最大值；②函数的极大、极小值是唯一确定的；③函数的极大值一定大于它的极小值；④函数的极值点一定不是区间的端点 图 3 图 1 【问题4】再观察图1回答下列问题： （1）函数f (x)在极大值点x0处的导数值为多少？ （2）此点两侧附近导数的符号有什么变化规律？ 图 3 【问题5】图3中的极大值点x1，x3，x5是否也有同样的性质呢？ 极小值点x2，x4呢？ 2.极值与导数的关系 可导函数 y = f (x)，x0是极大值点⇔f ′ (x0)=0且x0两侧附近导数左正右负；（学生类比得出）x0是极小值点⇔f ′ (x0)=0且x0两侧附近导数左负右正。 结论： 【问题6】如图是函数 y = f (x)的图象，试找出函数 y = f (x)的极值点，并指出哪些是极大值点？哪些是极小值点？ a b x x1 O x2 x3 x4 x5 x6 如果把函数y =f (x)的图象改为导函数 的图象呢？ 【问题7】函数 y =f (x)在极值点处的导数值有什么特点？ 【问题8】函数 y = f (x)在极值点两侧附近导数的符号有什么关系？ 【问题9】导数值为0的点叫作函数的什么？ 【问题10】导数值为0的点一定是函数的极值点吗？为什么？ 可导函数的导数值为0的点，是极值点的必要不充分条件（即导数值为0的点不一定是极值点，是不是极值点还要看这个点左右两侧导数的符号是否异号，是则为极值点，否则不是极值点，但是是极值点的话该点处的导数值一定为0） 3.深化某点取得极值的条件 驻点：若f ′ (c)=0，则x = c叫作函数f (x)的驻点 极值点一定是为驻点，而驻点不一定是极值点 4. 用导数求极值 例4.试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点． （1）f (x) =x4； （2）f (x) =x5 4. 用导数求极值 例4.试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点． （1）f (x) =x4； （2）f (x) =x5 例5.求函数 g (x) = x2 (3－x) 的极大值和极小值． x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) g′ (x) － 0 ＋ 0 － g (x) 递减↘ 0 递增↗ 4 递减↘ 求极值的步骤： 1.求定义域 2.求导数 3.求导数为0的点即函数的驻点 4.判断符号（通常列表） 5.左正右负，极大值；左负右正，极小值 三、课堂练习：P36页1（1）（2） 四、课堂小结： （1）用导数求函数极值的步骤有哪些？ （2）用导数还可以解决哪些与极值有关的题型？（结合做配套练习去发现还会碰到怎样的问题） 五、作业：A组 课本36页1（3）（4），2题 43页5（2）（4） B组 课本36页1（3）（4） 43页5（1）（3） 敬请各位同仁提出宝贵意见 谢谢指导 “横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山之中，各个山峰的顶端，虽不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极