精品解析：上海市七宝中学2023届高三下学期4月月考数学试题

2023届七宝中学高三（下）4月月考数学试卷 2023.04 一、填空题 1 设集合，，则________． 2. 已知复数（其中是虚数单位），则________． 3. 已知单位向量，夹角为60°，与垂直，则k的值为________． 4. 圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为________． 5. 已知，则的值为________． 6. 一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，请写出正确的序号顺序________． 7. 在2023年4月某区的高三模拟检测中，学生的数学成绩服从正态分布，已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是________． 附：若，则，． 8. 已知偶函数在上有且仅有一个极大值点，没有极小值点，则的取值范围为________． 9. 已知双曲线，点B的坐标为，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率取值范围是________． 10. 某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩，则下列说法正确的是________． ①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥； ②若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立； ③若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥； ④若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立． 11. 已知动圆经过点及原点,点是圆与圆的一个公共点,则当最小时,圆的半径为___________. 12. 将定义在上的函数的所有极值点按从小到大的顺序排列构成数列，若成等差数列，则在上的最大值为________． 二、选择题 13. 设是各项均为正数的等比数列，为其前项和.已知，，若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 14. 从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（ ） A. 甲乙两班同学身高的极差相等 B. 甲乙两班同学身高的平均值相等 C. 甲乙两班同学身高的中位数相等 D. 乙班同学身高在以上的人数较多 15. 在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，对于如下命题：①异面直线与所成角的余弦值为；②点P为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为；③过点，E，F的平面截正方体所得的截面周长为；④当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的体积为．则正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 已知的三个内角分别为A，B，C，则下列判断正确的是（ ） 命题p：对任何锐角A，都存在，使得； 命题q：对任何锐角A，都存在，使得． A. p是真命题，q是真命题 B. p是真命题，q是假命题 C. p是假命题，q是真命题 D. p是假命题，q是假命题 三、解答题 17. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． （1）若，求A； （2）求证：． 18. 如图，在四棱锥中，△PAD为等边三角形，，平面平面ABCD． （1）证明：平面PAD； （2）若，，，求直线BD与平面PAB所成角的正弦值． 19. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验，研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)分组，绘制频率分布直方图如图所示，试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只．假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立． （1）填写下面的列联表（单位：只），并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关． 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0050 0.025 0.455 0.708 1.323 2.072 2706 3.841 5.024 （2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体．用频率估计概率，记一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p，并以p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据