素养拓展3 与大学高等数学接轨的三类函数（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展03 与大学高等数学接轨的三类函数（精讲+精练） 一、知识点梳理 高考数学与高等数学知识(如欧拉公式、高斯函数、狄利克雷函数)的接轨，常以小题的形式呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养．因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训练是很有必要的，这有利于培养个人的探究、创新精神，拓宽思维，提升核心素养． 二、题型精讲精练 【题型训练】 1.欧拉公式 1．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（）被数学家们称为“宇宙第一公式”.（其中无理数），如果记小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记为.设此函数定义域（）为，值域（）为，则关于此函数，下列说法正确的有（    ） A． B．函数的图像是一群孤立的点 C．是的函数 D． 2．（单选题）（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（）被数学家们称为“宇宙第一公式”.（其中无理数），如果记小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记为.设此函数定义域（）为，值域（）为，则关于此函数，下列说法正确的有（    ） A． B．函数的图像是一群孤立的点 C．是的函数 D． 3．（填空题）（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列的通项公式为，则数列前2022项的乘积为__. 2.高斯函数 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，.已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有解之和为（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如，，，已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（2023秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 1．（2023春·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（    ） A．， B．， C．，若，则有 D．方程的解集为 2．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考开学考试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ） A．是奇函数 B．在上是减函数 C．的值域是 D． 3.狄利克雷函数 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数为黎曼函数定义在上，其解析式为则（    ） A．1 B．0 C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷（1805年2月13日~1859年5月5日），对函数论、三角级数论等都有重要贡献，主要著作有《数论讲义》《定积分》等.狄利克雷函数就是以其名字命名的函数，其解析式为则下列关于狄利克雷函数的判断错误的是（    ） A．对任意有理数t， B．对任意实数x， C．既不是奇函数也不是偶函数 D．存在实数x，y， 二、多选题 1．（2023秋·江西上饶·高三统考期末）函数被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（    ） A．函数的值域为 B．若，则 C．若，则 D．， 2．（2023·全国·高三专题练习）狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人,并且是有意识地“以概念代替直觉”的人．在狄利克雷之前,数学家们主要研究具体函数,进行具体计算,他们不大考虑抽象问题,但