4.2一元线性回归模型教学设计-2022-2023学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第四章 统计 4．2　一元线性回归模型 新课程标准解读 核心素养 1．结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件 数学抽象、数学建模、数据分析 2．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测 数学建模、数学运算、数据分析 教学设计 一、目标展示 二、情境导入 恩格尔系数(Engel's Coefficient)是根据恩格尔定律得出的比例数，指居民家庭中食品支出占消费总支出的比重，是表示生活水平高低的一个指标．其计算公式：恩格尔系数＝食品支出金额÷总支出金额． 一个家庭收入越少，家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食品的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食品的支出所占比例将会下降． 问题　恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个变量线性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？ 三、合作探究 知识点一　回归分析 1．找出与散点图中各点散布趋势相似的直线，使各点经过或充分靠近该直线，这条直线叫作回归直线，这条直线的方程叫作回归直线方程． 2．由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析． 3．如果具有相关关系的两个变量x，y可用方程y＝a＋bx来近似刻画，则称y＝a＋bx为y关于x的一元线性回归方程，其中a，b称为回归系数． 知识点二　一元线性回归模型 把yi＝＋xi＋ei(i＝1,2，…，n)这一描述因变量y如何依赖于自变量x和随机误差ei的方程称为一元线性回归模型． 知识点三　最小二乘法 用最小二乘法得到的回归直线方程为＝＋x，其中是回归直线在y轴上的截距，是回归直线的斜率． (，)称为样本中心，回归直线一定过样本中心． 四、精讲点拨 题型一　求回归直线方程 【例1】　某高中生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的一组数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 销售单价x/元 9 9．5 10 10.5 11 8 销售量y/件 11 10 8 6 5 14．2 (1)根据1月份至5月份的数据，求y关于x的回归直线方程； (2)若由回归直线方程得到的预报值与实际数据的误差不超过0.5，则认为此回归直线方程是理想的，试问(1)中的回归直线方程是否理想？ 题型二　利用回归直线方程对总体进行估计 【例2】　一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果： 转速x(r/s) 16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数y(件) 11 9 8 5 (1)画出散点图； (2)在实际生产中，若它们的近似方程为y＝x－，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？ 题型三　非线性回归分析 【例3】　某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 五、达标检测 1．在某线性回归分析中，已知数据满足线性回归方程＝x＋，并且由观测数据算得＝5，＝56，＝10.5，则当x＝10时，预测数值为(　　) A．108．5　　　　　　　 B．210 C．140 D．210.5 2．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示： x 16 17 18 19 y 50 34 41 31 由上表可得回归直线方程＝x＋中的＝－5，据此模型预测当零售价为14．5元时，每天的销售量为(　　) A．51个 B．50个 C．54个 D．48个 3．在研究硝酸钠的溶解度时，观察它在不同温度(x)的水中溶解度(y)的结果如下表： 温度x/℃ 0 10