单元5 专题21 计数原理与二项式定理-高中数学教学与测试·专题复习

高中数学致学与测缸专题复习 单元5 统计与概率 专题21 计数原理与二项式定理 春点回顾 基本计数原理是解决计数问题的基础，高考中主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解 与应用.高考中排列与组合部分主要在实际背景下考查排列数公式和组合数公式，并解决有关的应用问题， 高考试题中一般以选择题或填空题的形式出现，体现基础性，突出应用性，以实际问题为载体，考查基础知识 的同时考查分析问题、解决问题的能力，高考对二项式定理的考查主要在二项展开式的系数和项两个方面进 行，既注重基础性又有一定的思雏层次性，二项式定理的复习要重视对概念、定理和二项式系数性质的理解， 重点理解好基本的模型和方法.比如，依据通项研究一般项，依据多项式乘法理解二项展开式等，注意学科知 识交汇点处的命题，如二项式定理与数列、函数融合的试题 自主热身 题鬍讲 ☐6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名 圆☐)(c+)x+y)的展开式中ry的 同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排 系数为( 2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(). A.5 B.10 C.15 D.20 A.120种B.90种C.60种D.30种 ☑(1+2x)(1+x)的展开式中x的系数为 (2)(x一x-a)的展开式的各项系数和为一32， (). 则该展开式中含x项的系数是(). A.12 B.16 C.20 D.24 A.-15B.-5C.5D.15 目已知(1-pr)=b十hmx十x2+…+bx",p 为常数，若b6=一3，b=4,则p=() A.1 B立 c D.} 日北京大兴国际机场于2019年9月25日正式 通航，日前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑 道、，西二跑道、东一跑道、北一跑道.若有2架飞往不同 目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑 道、西二跑道至少有一道被选取，则共有 种不 同的安排方法.（用数字作答） 70 例2我们称n(n∈N)元有序实数组(x,,…, 例图设f.(x)是数列1，(1十x),(1+x),…, 工，)为n维向量，∑|工为该向量的范数.已知n维 (1十x)的各项和，≥2，n∈N (1）设g。(x)=fw(.x)一2，证明：gu(x)在 向量a=(x1,,…,xn),其中x∈{一1,0,1，i=1, 2,…,n.记范数为奇数的n维向量a的个数为A.,这 (一名，0)内有且只有一个零点. A。个向量的范数之和为B, (2)当x>一1时，设存在一个与上述数列的首 (1)求A:和B的值： 项，项数、未项都相同的等差数列，其各项和为h(x), (2)当n为偶数时，求A.,B.(用n表示). 比较f(x)与h,(x)的大小，并说明理由. (3)给出由公式sin2x=2sin.ccosr推导出公式 cos2x=cosx一sinx的一种方法如下：在公式sin2c 2sin.ccosr两边求导，得2cos2.c=2 cosreosr-2 sinzsinr, 所以cos2x=cosx一sinx成立.请类比该方法，利用 上述数列的末项(1十x)”的二项展开式证明：n2时， 2-1waC=0 71 高中数学教学与测缸专题复习 S=1+x)"-(1+x++(n+1D1+x)= 样倒剖折 x m(1十x)“ r (1)求7C-4C的值： 其中含x项的系数为一C十(n十1)C出= (2)设m,n∈N,n≥m,求证： (m十1)C",即命题得证. (m+1)C+(m+2)C+1+(m+3)C+z+…+ 方法3f(x)=(m十1)(1十x)十(+2)(1+ nCg1+(n+1)C=(m十1)C. x)+1十…+n(1十x)"1+(n十1)(1十x),只要看其 分析本题主要考查组合数公式、组合数的性质、 中含x“项的系数，令g'(x)=f(x),则 二项式定理及其应用. g(r)=(1+x)+1+(1+x)++…+(1+x)+1 (1)直接应用组合数公式进行计算即可得出 =1+x)+2(1十x)+1 结采： (2)关于组合数恒等式的证明问题，方法较多，可 即只要看g(x)中含xm+1的项，显然为C好x+, 以灵活地运用组合数公式和性质直接证明左右两边相 再对x求导，可得f(x)中含x项的系数为 等，也可以通过构造组合模型，运用“算两次”的思想方 (m十1)C.所以等式成立. 法实现证明 说明本小题主要考查组合数及其性质等基础知 3X2X4X7X6X5X4 解(1)7C-4C-7×6X5x4 4X3x2x7-0 识，考查运算求解能力和推理论证能力.证明组合恒 等式的常用方法有：(1)利用组合数恒等式进行证明： (2)方法1当=m时，结论显然成立，当n>m (2)构造函数：(3)求导数赋值：(4)利用组合数的实际 时，(0+1)C=+1)·! m!(k一m)!