专题1.4 数列求通项（6类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（北师大版2019选择性必修第二册）

专题1.4 数列求通项 【考点1：观察法求数列的通项】 1 【考点2：利用an与Sn的关系求通项】 3 【考点3：累加法求通项】 6 【考点4：累乘法求通项】 9 【考点5：待定系数法求通项】 11 【考点6：倒数构造法求通项】 14 【考点1：观察法求数列的通项】 【知识点：观察法求数列的通项】 给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系． [方法技巧] 由数列的前几项求通项公式的思路方法 (1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控． (3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳． [提醒]　根据数列的前几项写出数列的一个通项公式利用了不完全归纳法，其蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验．　　 1．（2022·江苏省响水中学高二期中）数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·甘肃·兰州一中高二期中）数列1,,,，的第n项为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·重庆南开中学高二阶段练习）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·河南安阳·高二期中）已知数列的前几项为，，，，…，则的一个通项公式为______． 5．（2020·山东省青岛第十七中学高二期中）如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为______（用具体数字作答）. 【考点2：利用an与Sn的关系求通项】 【知识点：利用an与Sn的关系求通项】 数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解． [方法技巧] 已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．　　 1．（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高二期中）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·福建·莆田第三中学高三期中）已知数列的前n和，则数列的通项公式为________． 3．（2022·福建·高三阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则______. 4．（2022·福建·莆田一中高二期中）已知数列满足，则___________． 5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－16n，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a11|＝________. 6．（2022·河南安阳·高二期中）已知数列的前项和为的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求． 【考点3：累加法求通项】 【知识点：累加法求通项】 形如：an＋1＝an＋f(n)的数列可利用累加法求通项，例如a1＝1，an＋1＝an＋2n. 1．（2022·福建龙岩·高二期中）已知数列满足，，则________． 2．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））已知数列满足，，则数列的前100项和______． 3．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））已知数列满足，，则的最小值为_________. 4．（浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则__________． 5．（2007·天津·高考真题（文））已知数列满足． (1)求； (2)证明：． 【考点4：累乘法求通项】 【知识点：累乘法求通项】 形如：an＋1＝anf(n)的数列可利用累乘法求通项，例如a1＝1，