专题15 导数的运算及几何意义-2024年新高考数学一轮考点题型精准复习（讲义+ppt）（新高考专用）

专题15 导数的运算及几何意义 考点一 平均变化率和瞬时变化率 考点二 导数的定义 考点三 导数的运算 考点四 利用导数求直线的倾斜角（范围） 考点五 “在”点的切线问题 考点六 “过”点的切线问题 考点七 已知切线（斜率）求参数 考点八 公切线问题 一、导数的概念及几何意义 1.平均变化率 函数从到的平均变化率为，若，，则平均变化率可表示为. 2.瞬时变化率 定义式 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 3.导数的概念 一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即. 【注】函数在处的导数是在处的瞬时变化率. 4．导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即. 二、导数的计算 1.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 基本初等函数 导函数 （为常数） 2.导数的运算法则 若存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则． 3.复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 考点一 平均变化率和瞬时变化率 例1．（2023春·江西·高二校联考期中）函数在区间上的平均变化率为______. 【答案】   【分析】根据平均变化率的公式进行求解即可. 【详解】解：函数在区间上的平均变化率为. 故答案为： 例2．（2023春·甘肃白银·高三校考期中）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，三者的大小关系为__．（由大到小排列） 【答案】 【分析】连接根据题意，由变化率的定义分析可得即直线OA、AB、BC的斜率，据此分析可得答案． 【详解】连接 根据题意，汽车在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为， 即直线OA、AB、BC的斜率， 由题得， 则有. 故答案为：． 例3．（2023·全国·高三专题练习）我国自主研发的世界首套设计时速达600公里的高速磁浮交通系统，标志着我国掌握了高速磁浮成套技术和工程化能力，这是当前可实现的“地表最快”交通工具，因此高速磁浮也被形象地称为“贴地飞行”．若某高速磁浮列车初始加速至时速600公里阶段为匀加速状态，若此过程中，位移x与时间t关系满足函数（为初速度，k为加速度且）．位移的导函数是速度与时间的关系．已知从静止状态匀加速至位移公里需，则时速从零加速到时速600公里需（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中所给函数解析式先求得k的值，再利用即可求得答案. 【详解】由题意得匀加速过程中，位移x与时间t关系满足函数， 则由从静止状态匀加速至位移公里需可得， 则由可得（s）， 故选：C 例4．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）一质点做直线运动，其位移与时间的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率和瞬时变化率的定义，可分别计算求得，即可得出结果. 【详解】根据平均速度定义可知， 在内的平均速度为； 在时的瞬时速度为； 所以. 故选：B 例5．（2023春·河北石家庄·高三校联考期中）如图，在墙角有一根长1米的直木棒AB紧贴墙面，墙面与底面垂直.在时，木棒的端点A以的速度竖直向下匀速运动，端点B向右沿直线运动，则端点B在这一时刻的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得秒后移动，对其求导并将代入求瞬时速度. 【详解】由题意，秒后移动米，则移动米， 所以，则时，瞬时速度为. 故选：A 考点二 导数的定义 例6．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知函数在处可导，若，则＝（     ） A．1 B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】利用导数的定义求解． 【详解】. 故选：B 例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则______. 【答案】－1 【分析】根据题意，由导数的定义可得，计算即可得出结果. 【详解】根据题意，由导数的定义可得 ， . 故答案为：－1. 例8．（2023·全国·高三专题练习）用定义求函数的导数． 【答案】. 【分析】先求出平均变化率，根据导数的定义求极限即可得到结果. 【详解】函数的定义域为. 设，因为， 根据导数的定义知，. 例9．（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）已知函数，则__________. 【答案】 【分析】根据导数定义，结合求导公式直接求解即可. 【详解】由导数定义可知， 因