精品解析：辽宁省沈阳市第二中学2023届高三第五次模拟考试数学试题

沈阳二中2022—2023学年度下学期第五次模拟考试 高三（23届）数学试题 命题人：高三数学组 审校人：高三数学组 说明：1．测试时间：120分钟 总分：150分 2．考生务必将答案答在答题卡相应位置上，在试卷上作答无效. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（其中为虚数单位），则的共轭复数虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为（ ） A. 220 B. 240 C. 250 D. 300 4. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 6. 魏晋时期数学家刘徽（图a）为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时（如图b），两圆柱公共部分形成的几何体（如图c）即得一个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图（图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原正方体的表面上）． 由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线PBQD为一个椭圆，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若、是关于x的方程在内的两根，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆，设圆与圆交于A，B两点，则下列点中，直线一定不经过（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则不因的变化而变化的是（ ） A. 顶点坐标 B. 渐近线方程 C. 焦距 D. 离心率 10. 下列说法中正确是（ ） A. 将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，样本方差没有变化 B. 在线性回归分析中，成对数据构成的点都在回归直线上的充要条件是相关系数r=1 C. 在线性回归分析中，回归直线就是使所有数据的残差平方和最小的直线 D. 在线性回归分析中，用最小二乘法求得的回归直线使所有数据的残差和为零 11. 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（ ） A. 圆台母线与底面所成角为60° B. 圆台的侧面积为 C. 圆台外接球半径为2 D. 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 12 已知函数，若直线与曲线和分别相交于点，且，，则( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷（选择题，共90分） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，，则______． 14. 已知随机变量，若，则的最小值为__________. 15. 求值：________. 16. 已知表示不超过x的最大整数，记，则方程的整数解个数为__________． 四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知数列满足，. （1）证明：为常数； （2）设数列的前项和为，求. 18. 一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人在点A处，2号机器人在点B处，3号机器人在点C处，且，，米，如图所示： （1）求1号机器人和2号机器人之间距离； （2）若2号机器人发现足球在点处向点作匀速直线运动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半作匀速直线运动去拦截足球．已知米，忽略机器人原地旋转所需的时间，若2号机器人最快可在线段上的点处截住足球，求此时线段的长． 19. 如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，平面平面ABC． （1）证明：； （2）若E为的中点，直线与平面所成的角