14.4.3&14.4.4用频率直方图估计总体分布与百分位数-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（苏教版2019必修第二册）

14.4.3用频率直方图估计总体分布14.4.4百分位数 题型1由频率直方图求众数、中位数、平均数 2 ◆类型1众数、中位数、平均数的求法 3 ◆类型2其他考点 7 题型2分位数 11 ◆类型1分位数的计算 12 ◆类型2图表中分位数的计算 13 ◆类型3频率直方图的分位数 17 知识点一.频率直方图 把横轴均分成若干段，每一段对应的长度称为组距，然后以此段为底作矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列矩形，每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了直方图，我们将这种直方图称为频率分布直方图。 知识点二.众数、中位数、平均数与频率直方图的关系 平均数 在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． 中位数 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． 众数 众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据． 知识点三.百分位数 1.定义：一组数的k%（p∈（0，100））分位数指的是满足下列条件的一个数值∶至少有k%的数据不大于该值，且至少有（100- k）%的数据不小于该值.直观来说，一组数的k%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于k%位置的数. 2.图示：如果将样本数据从小到大排列成一行，那么k百分位数pk所处位置如图所示： 3.步骤： 第1步：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn， 第2步：计算i=nk%的值， 第3步：如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取Xi0为k%分位数； 第4步：如果i是整数，取为k%分位数. 特别地，规定∶0分位数是x（即最小值），100%分位数是xn（即最大值）. 注意：(1)中位数就是一个 50%分位数. (2)按照定义可知，k%分位数可能不唯一，也正因为如此，各种统计软件所得出的 k%分位数可能会有差异. （3）实际应用中，除了中位数外，经常使用的是 25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数）. 题型1由频率直方图求众数、中位数、平均数 【方法总结】（1）频率分布直方图的特点： ①， ②个小长方形的面积等于1， ③． （2）众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中．中位数即为从小到大中间的数（或中间两数的平均数），平均数为每个小矩形中点的横坐标与小矩形面积乘积之和. （3）用频率直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数. ◆类型1众数、中位数、平均数的求法 【例题1-1】（2022春·江苏南京·高一校联考期中）第24届北京冬奥会于 2022 年 2月4日2月20日举，世界充分展示了中国的自信，其成功的背后也少不了无数志愿者的辛勤付出，当时对志愿者进行在语言、医疗、驾驶等服务进行综合测试，（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示，观察图形，则下列说法中正确的是（    ） A．频率直方图中第三组的频数为10 B．根据频率直方图估计样本的众数为75分 C．根据频率直方图估计样本的中位数为78分 D．根据频率直方图估计样本的平均数为73分 【变式1-1】1．（多选）（2022春·山东菏泽·高一统考期末）某学校有1000名学生，为更好的了解学生身体健康情况，随机抽取了100名学生进行测试，测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．频率分布直方图中a的值为0.005 B．估计这100名学生成绩的中位数约为77 C．估计这100名学生成绩的众数为80 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为160 【变式1-1】2．（2023春·上海浦东新·上海市进才中学校考期中）为了解某校高二年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试．已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如下． 450名高二学生数学成绩的频率分布直方图 (1)求的值； (2)估计这次数学考试的平均成绩； (3)求这次数学考试的及格率（不低于60分视作及格）． 【变式1-1】3．（2022春·广西百色·高一校考期末）某学校随机抽取了100名学生通过答卷方式进行科学知识普及情况调查，试卷满分为120分.经统计得到成绩的范围是（单位：分），通过整理数据得到如下频率分布直方图： (1)求的值，并求出分数在的人数； (2)估计该校科普知识测试成绩的平均数、中位数和众数. 【变式1-1】4．（2022春·江苏连云港·高一连云港高中校考期末）2021年4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到下表． 组号 分组