14.4.2用样本估计总体的离散程度参数-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（苏教版2019必修第二册）

14.4.2用样本估计总体的离散程度参数 题型1极差、方差、标准差的计算 2 题型2数据乘除加减一个数型 6 ◆类型1y=ax+b型 6 ◆类型2多一个数据型 7 ◆类型3含有x2型 8 ◆类型4其他型 9 题型3含参问题 9 题型4分层抽样的方差 11 题型5综合运用 13 知识点一.极差 一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.极差反映了一组数的变化范围. 不难看出，极差反映了一组数的变化范围，描述了这组数的离散程度. 注意： 1.极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.一般情况下，极差大，则数据较分散，数据的波动性大；极差小，则数据相对集中，数据的波动性小， 极差的计算非常简单，但极差只考虑了两个极端值，而没有考虑中间的数据，因此很多时候， 极差作为数据的离散程度的统计量，可靠性较差. 2.极差的取值范围是[0，+∞）. 知识点二.方差 1.定义∶如果x1，x2，…，xn，的平均数为，则方差可用求和符号表示为 2.性质∶如果a，b为常数（a=0），则ax1+b，ax2+b，...,axn+b的方差为a2s2. 3.样本方差的其它计算公式 若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn.则其方差为 4．分层抽样的方差 如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，jjn，第j层的样本量为nj，样本平均数为，样本方差为s，j＝1,2,3…，k，记＝n，那么所有数据的样本方差为 s＝(xjt－)2＝[s＋(－)2] 知识点三.标准差 1.定义∶方差的算术平方根称为标准差.一般用s表示，即样本数据x1，x2，…，xn，的标准差为 2.性质∶如果a，b为常数，则ax1+b，ax2+b，...,axn+b的标准差为|a|s 3.如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表明数据没有波动，数据没有离散性;若各数的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高，因此标准差（或方差）描述了数据相对于平均数的离散程度. 题型1极差、方差、标准差的计算 【方法总结】方差和标准差的计算 标准差、方差的意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差． (2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)． 标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性． 【例题1】（2023·山东·山东省实验中学校考一模）在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表： 班级 人数 平均分数 方差 甲 40 70 5 乙 60 80 8 则两个班所有学生的数学成绩的方差为（    ）． A．6.5 B．13 C．30.8 D．31.8 【变式1-1】1．（多选）（2022春·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）一组数据6，7，8，a，12的平均数为8，则此组数据的（    ） A．众数为7 B．极差为6 C．中位数为8 D．方差为 【变式1-1】2．（2023·全国·校联考三模）某学校统计了10位同学一周的课外体育运动总时长（单位：小时），数据分别为6.3，7.4，7.6，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.7，8.8，则以下数字特征中数值最大的为（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【变式1-1】3．（云南省昆明市2023届“三诊一模”高考模拟考试数学试题）仓廪实，天下安．粮食安全是国家安全的重要基础．某实验农场为研究甲、乙两品种土豆苗的生长状态，从种植的甲、乙两品种土豆苗中各随机抽取10株，分别测量它们的株高（单位：cm）数据如下表所示，则下列结论中表述不正确的是（    ） 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲品种 82 83 81 82 76 91 83 88 89 93 乙品种 68 80 88 72 89 88 95 74 90 71 A．甲品种土豆苗样本株高的极差小于乙品种土豆苗样本株高的极差 B．甲品种土豆苗样本株高的方差大于乙品种土豆苗样本株高的方差 C．甲品种土豆苗样本株高的中位数小于乙品种土豆苗样本株高的中位数 D．甲品种土豆苗样本株高的平均值大于乙品种土豆苗样本株高的平均值 【变式1-1】4．（2023·四川成都·三模）一次数学考试后，某班级平均分为110分，方差为．现发现有两名同学的成绩计算有误，甲同学成绩被误判为113分，实际得分为118分；乙同学成绩误判为120分，实际得分为115分．更正