回归教材重难点09 解直角三角形及其应用-【查漏补缺】2023年中考数学三轮冲刺过关

回归教材重难点09 解直角三角形及其应用 本考点是中考五星高频考点，难度中等，在全国各地市的中考试卷中均有考查。 （2022年黑龙江省中考数学试卷第10题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（　　）米 A．600﹣250 B．600﹣250 C．350+350 D．500 【分析】设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设EF＝5x米， ∵斜坡BE的坡度为5：12， ∴BF＝12x米， 由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2， 解得：x＝100， 则EF＝500米，BF＝1200米， 由题意可知，四边形DCFE为矩形， ∴DC＝EF＝500米，DE＝CF， 在Rt△ADE中，tan∠AED＝， 则DE＝＝AD， 在Rt△ACB中，tan∠ABC＝， ∴＝， 解得：AD＝600﹣750， ∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米， 故选：B． 点评：本题考查的是解直角三角形的应用——坡度角度问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键。 解直角三角形及其应用是中考数学中的必考考点，其考察内容主要包括锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形与其应用等。一般会以仰角俯角、测楼高树高等问题出现，还经常会和圆、三角形、网格等几何图形结合，计算中需要更加仔细一点。 本考点是中考五星高频考点，难度中等及中等偏上，在全国各地市的中考试卷中均有考查。 技法01：解直角三角形相关： 在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b 三边关系： 两锐角关系： 边与角关系：，，， 锐角α是a、b的夹角 面积： 仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角. 俯角：视线在水平线下方的叫俯角 坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α， 坡度越大，坡角越大，坡面越陡 技法02：解直角三角形常见应用 技法03：解直角三角形应用常见辅助线 在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合平面几何知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题，常见的构造的基本图形有如下几种： （1）不同地点看同一点，如图① （2）同一地点看不同点，如图② （3）利用反射构造相似，如图③ （4）常用结论： 【中考真题练】 1．（2022•济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（　　） （精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60） A．28m B．34m C．37m D．46m 2．（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2022•黔东南州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（　　） A． B． C． D．3 5．（2022•广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A． B． C． D． 6．（2022•荆门）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝　 　小时． 7．（2022•通辽）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝　 　． 8．（2022•赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的