2023年安徽省中考数学复习专题突破（四 ）几何最值问题

专题四 几何最值问题 考情分析 几何最值问题为安徽中考近几年的常考题型，难度大，综合性强，是整张试卷的区分度设置之处，此类问题主要考查几何知识的综合运用. 年份 题号 分值 考点 难易程度 2017 10 4分 最短路线问题、三角形的面积、 矩形的性质，勾股定理 难 2019 10 4分 正方形的性质、最短路径问题 难 2022 10 4分 动点在某线段上移动时线段的最小值 难 中考题型探究 类型一 旋转中的最值问题 经典例题 1 [2022·合肥四十六中三模]如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点C 为圆心，2为半径作圆，P是⊙C上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q,连接BQ,则BQ的最大值是( ) A.6 【解析】如图1,连接AQ,CP,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=90°.由旋转得:DP=DQ,∠QDP=90°,∴∠ADC- ∠QDC= ∠QDP-∠QDC,∴∠ADQ=∠CDP,∴△ADQ≌△CDP,∴AQ=CP=2,∴点Q是在以点A为圆心.半径为2的圆上，∴当点Q在BA的延长线上时，BQ的值最大，如图2所示.∴BQ的最大值=AB+AQ=4+2=6. 【答案】A 方法归纳 本题是利用旋转的性质，将问题转化为“两点之间线段最短”来解决的. 类型二 “一个定点，两个动点”的最值问题 经典例题2 [2022·安徽一模]在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,点N是线段BC 的中点，点E，G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为( ) C.5 D.6 【解析】如图所示，作N关于AB的对称点N',取DC的中点F,连接DM,FM,GN',FN'. 可得GN=GN',∵M在以DE为直径的圆上,∴DM⊥EC,∴△DMC为直角三角形.∵F为Rt△DMC斜边的中点,∴MF= 当MF,MG,GN'三边共线时,有 MF+MG+GN'长度的最小值为 FN'.∵F,N分别是DC,CB的中点,∴FC= 长度的最小值为 的 最小值为 【答案】A 方法归纳 一个定点，两个动点，且两个动点在两条直线上，此时利用轴对称作出定点的对称点，当这三点在同一直线上时线段的长度和最小.另外，又有“垂线段最短”，所以三点共线且是垂线段时，两条线段和最小. 考点演练 1.[2022·合肥二模]如图,点E，F分别是正方形的边AB,AD上的动点,O 为对角线的交点，连接OE,OF,若OE ⊥OF,AB=4,则EF的最小值为( ) 0 B.3 D.4 A B3 C D4 【点拨】∵四边形ABCD 为正方形,∴OA=OB. ∠EBO=∠OAF=45° ,∠AOB=90°.∵OE⊥OF,∴ ∠EOF=90°,∴∠AOB=∠EOF=90°.∵∠AOE+ ∠BOE=90° ,∴∠AOF=∠BOE,∴△AOF ≌ AB 时，OE 有最小值，最小值为 ∴EF的 最小值为 2.[2022·合肥新站高新区一模]在等边△ABC中,AB=2,点D是BC边的中点,点E是AC边上一个动点，连接DE，将DE绕点D顺时针旋转90°,得到DE',连接CE',则CE'的最小值是 ( C ) A.1 【点拨】如图1,将△ADC绕点D旋转90°得到△A'DC',∵点E是AC边上一个动点,∴点E'是A'C'边上一个动点,当CE'⊥A'C'时,CE'最小.如图2 .在等边△ABC 中,∵AB=2,点D为BC中点. 3.[2022·慕湖市二模]如图,在矩形ABCD 中, 点E在AB上 ,在矩形内找一点P,使得∠BPE=60°,则线段PD的最小值为 ( A ) C.4 【点拨】如图,在BE 的上方作△OEB,使得OE=OB.∠EOB=120°,连接OD,过点O作OQ⊥BE于Q,OJ⊥AD于J.∵ ∴点P在以O为圆心，OE 为半径的⊙O上，∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小.∵四边形ABCD 是越形, ∵OJ⊥AD,OQ⊥AB,∴∠A=∠AJO=∠AQO=90°,∴四边形AQOJ 是矩形,∴AJ=OQ=1,JO= . PD 的最小 4.[2022·合肥三十八中一模]如图，在平行四边 E是形ABCD中,AB 的中点，P是边AD上的一动点，若AD=2,则PE+PB的最小值为