第十三讲 三角函数的定义 复习讲义-2023届高三数学一轮复习备考

第13讲 三角函数概念 一、基础知识 1．任意角的概念 角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的_____，射线的端点O叫做角的_____，旋转终止位置的射线OB叫做角的____，按_ __时针方向旋转所形成的角叫做正角，按_ __时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个___角． (1)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角. (2)象限界角(即终边在坐标轴上的角) 终边在x轴上的角表示为_________ ； 终边在y轴上的角表示为___________ ； 终边落在坐标轴上的角可表示为________ _． (3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合____ 或______ ，（要求前者用角度制表示，后者用弧度制表示）． (4)弧度制：把长度等于__ 长的弧所对的___ 叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做__ ，它的单位符号是__ ，读作___ ，通常略去不写．（半径、圆心角、弧度制、、弧度） (5)度与弧度的换算关系 360°＝___ rad；180°＝__ rad；1°＝___ rad；1 rad＝________≈57.30°. (6)弧长公式与扇形面积公式 l＝____ ．S扇＝________＝_______. 2．三角函数的定义 任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么①__叫做的正弦，记作，即；②____叫做α的余弦，记作，即；③____叫做α的正切，记作tan α，即；④____叫做α的余切，记作，即． （、、、） 一般地，在角上的终边上任取一点（除端点外），设，则 ， ， ， . （、、、） (1)三角函数值的符号 各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)三角函数线 下图中有向线段MP，OM，AT分别表示角的 、角的____ 和角的___ ． （3）三角函数的定义域：的定义域都是 ，的定义域为 . （4）特殊角的三角函数值 的角度 的弧度 不存在 二、经典题型 题型一、三角函数的概念 （一）角所在象限的判断 【例1.1】 已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为________． 【例1.2】 若角在第三象限，则在第________象限． 【变式】 设集合，，那么(　　) A. B. C. D. （2） 利用角终边上的点计算三角函数值 【例2】 已知角的终边经过点且，，试判断角所在的象限，并求和的值． 【变式2】 已知角的终边过点，且，则的值为(　　) A. B. C． D. 【例3】 点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为 (　　) A. B. C. D. 【变式】已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）. A. B. C. D. 【例4】已知的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，点是终边上一点，则等于________． 【变式】角终边上的点与关于轴对称，角终边上的点与关于直线对称，求的值． 题型二、扇形的弧长与面积 【例5】已知扇形的周长为. (1)若这个扇形的面积为，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长. 【变式】已知扇形的周长为，当它的半径为________和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________． 题型三、利用三角函数线比较大小 【例6】（1）；（2）；（3）. 【变式1】，比较的大小. 【变