专题3 倍数和因数-小升初数学复习精编讲义（知识清单+经典例题+强化训练+名校冲刺）

小升初数学名校冲刺知识讲解与训练 专项3 倍数和因数 ※知识清单※ 1.整除 整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（或b能整除a）。需要注意的是，整除和除尽的相同点是除的结果都没有余数；不同点是整除是一个自然数（0除外）除以另一个自然数（0除外），除尽是一个数除以另一个数。 “除尽”包括“整除”，如图所示： 除尽 整除 2.因数、倍数 如果数a能被数b整除，我们就说数a是数b的倍数，数b是数a的因数。因数和倍数是互相依存的。 3.奇数、偶数 能被2整除的数叫偶数。如2，4，6… 不能被2整除的数叫奇数。如1，3，5，7，… 因为0能被2整除，所以0也是偶数。 4.质数和合数 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。 1既不是质数，又不是合数。 按因数的个数来分，自然数可分为三类：1（只有一个因数）、质数（只有两个因数）和合数（至少有3个因数）。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。 5.最大公因数、最小公倍数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。公因数只有1的两个数，叫做互质数。 用短除法求几个数的最大公因数，一般先用这几个数的公有的质因数连续去除一直除到商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 用短除法求几个数的最小公倍数，先用这几个数公有的质因数去除（一般从最小的开始），一直除到所得的商是互质数为止，然后再把所有的除数和最后的所有商连乘起来。 如果两个数是互质数，那么，这两个数的最大公因数是1，这两个数的最小公倍数是它们的乘积。 如果两个数成倍数关系，那么，这两个数的最大公因数是其中一个较小的数，这两个数的最小公倍数是其中一个较大的数。 6.能被 2，3，5整除的数的特性 个位上是0，2，4，6，8的数，都能被2整除。 个位上是0或者5的数，都能被5整除。 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。 一个数的各位上的数的和能被9整除，这个数就能被 9整除。 一个数末两位上的数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。 一个数末三位上的数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。 ※经典例题※ 例1 下面四个算式中表示整除的算式是（ ）。 A.0.3÷0.1=3 B.75÷10=7.5 C.162÷9=18 D.15÷0.5=30 【解析】根据数的整除概念，算式A、B、D不符合要求。只有算式C才符合整数除以整数，除得的商是整数而没有余数。所以应该选择C。 【解答】C 例2 12 和18的公约数有（ ）个。 【解析】12的约数有：1、2、3、4、6、12；18的约数有：1、2、3、6、9、18；所以它们的公约数有1、2、3、6这四个数。 【解答】4 例3 判断：任何一个非零自然数的约数至少有两个。（ ） 【解析】除零以外，自然数分质数、合数和1三部分，其中质数的约数有1和这个质数本身两个，合数的约数有两个以上，而1的约数只有1个，所以说任何自然数的约数至少有两个的说法是错误的。 【解答】× 例4 两个质数的和是39，这两个质数的积是（ ）。 【解析】两个数的和是39，说明这两个数是一个奇数和一个偶数，同时两个数又都是质数，在偶数中只有2是质数，所以另一个数是39-2=37，那么这两个数的积是37×2=74。 【解答】74 例5 一个整数除以7，商是10，余数可能是（ ）。 A.6 B.6.5 C.8 D.10 【解析】根据整数中带余数除法的规定：如果两个整数相除，余数一定是整数并且小于除数。所以应该选A。 【解答】A 例6 四个连续奇数的最小公倍数是315，求这四个数中最大的一个数是多少？ 【解析】因为315是四个连续奇数的最小公倍数，所以315与这四个奇数相乘的积有关。把315分解质因数：315=3×3×5×7=5×7×9，5、7、9是三个连续的奇数，同时3和9都有公约数3，所以这四个连续奇数是3、5、7、9，其中最大的一个数是9。 【解答】这四个数中最大的一个数是9。 例7 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是180，其中一个数是36，求另一个数是多少？ 【解析】设另一个数是A。 4 36 A 9 a 因为4是这两个数的最大公约数，所以9与a互质；从180=4×9×a，得到a=5；所以a=5×4=20；另一个数是20。 【解答】另一个数是20。 例8 有一个四位数a58b能被45整除，这个数是多少？ 【解析】