第十二讲 函数与方程讲义-2023届高三数学一轮复习

第12讲 函数与方程 一、知识回顾 1.函数的零点 对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 方程有实根函数的图象与轴有交点（即为交点横坐标） 函数有零点。 2.零点存在性定理 如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。 3.二次函数 的图象与零点的关系 二次函数 的图象 与轴的交点 ， 无交点 零点个数 两个 一个 无 4.二分法 (1) 定义：对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法 叫做二分法。 (2) 给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下： ① 确定区间，验证，给定精确度； ② 求区间的中点； ③ 计算； (ⅰ)若，则c就是函数的零点； (ⅱ)若，则令 (此时零点)； (ⅲ)若，则令 (此时零点)。 ④ 判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值或；否则重复②③④； 若将区间等分次后，得到的零点区间满足要求的精确度，则有. 二、经典例题 题型一：零点所在区间问题 【例1】方程的解的所在区间是（ ） 【变式1】【2015湖北黄石高一期中】 函数的零点所在的大致区间是（ ） A． B． C． D． 【变式2】若是方程的解，则属于区间（ ） A.. B.. C. D. 题型二：方程的根与零点个数问题 【例2】函数的零点个数为( ) A.1 B. 2 C.3 D.4 【变式】已知，则函数的零点的个数为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：利用函数的零点确定参数的取值范围 【例3】方程有三个不相等的实根，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【变式】已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例4】若方程在内恰有一解，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【变式】是否存在这样的实数，使函数在区间上与轴 有且只有一个交点。若存在，求出的范围；若不存在，说明理由。 题型四、二分法问题 【例5】用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下： 据此数据，可得的一个零点的近似值(精确度)为________． 【变式】用二分法求的近似解，，，下一个求，则________． 【例6】已知连续不断的函数在区间有唯一零点，若用“二分法”求该零点（精确度）的近似值，那么将区间等分的次数至少是________次 【变式】用二分法求函数在区间上近似解，要求精确度为时，所需二分区间次数最少为（　　）次 A．5 B．6 C．7 D．8 题型五 综合应用 【例7】设是定义在上的偶函数，对，都有，且当 时，，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式】已知的图象关于坐标原点对称。 (1)求的值，并求出函数的零点； (2)若函数在内存在零点，求实数的取值范围； 课后作业 1、函数的零点所在的一个区间是( ) A． B． C． D． 2、函数的零点有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 3、已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4、已知函数若关于的方程有两个不同的实根， 则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5、下列