北京市一零一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

北京一零一中2022－2023学年度第二学期期中考试 高二数学 （本试卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．已知数列为等差数列，若，，则公差d等于（ ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 2．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知函数，则函数的最小值为（ ） A． B．1 C． D．e 4．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 5．函数的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A．2 B． C． D．－2 7．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，，则导函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 8．设等比数列的前n项和为，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知函数，当时，下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 10．对任意，若递增数列中不大于2m的项的个数恰为m，且，则n的最小值为（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 11．已知函数，则 ． 12．已知数列的前n项和为若，则 ． 13．用铁皮围成一个容积为4的无盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为 ．（注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计） 14．已知函数在区间上的极小值也是最小值，则n的取值范围是 ． 15．已知数列的通项公式为，记数列的前n项和为若对任意的，恒成立，则实数k的取值范围是 ． 16．已知数列满足，．给出下列四个结论： ①数列的前n项和； ②数列的每一项都满足； ③数列的每一项都满足 ④存在，使得成立． 其中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17．（本小题10分） 已知数列的前n项和为，且满足，． （1）若，，成等比数列，求m的值； （2）设，求数列的前n项和． 18．（本小题12分） 已知函数，其中． （1）当时，求函数的极小值； （2）求函数的单调区间； （3）证明：当时，函数有且仅有一个零点． 19．（本小题14分） 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上存在单调递减区间，求a的取值范围； （3）若函数的最小值为，求a的值． 20．（本小题14分） 在无穷数列中，，对于任意，都有，．设，记使得成立的n的最大值为． （1）设数列为1，4，7，10，…，写出，，，的值； （2）若为等差数列，求出所有可能的数列； （3）设，，求的值．（用p，q，A表示） 学科网（北京）股份有限公司 $北京一零一中2022-2023学年度第二学期期中考试高二数学参考答案 一、选择题（每题4分，共10题，共40分） 1. C 2. B 3. B 4. C 5. B 6. D 7. A 8. C 9. A 10. A 二、填空题（每题5分，共6题，共30分） 11. 2 2 . 12. 5. 13. 12. 14. [ 3 3)−  . 15. 2 [ ) 27 + . 16. ②③. （0分，3分，5分） 三、解答题（共4题，共50分） 17.（共10分） (1) （5分）因为 1 2n na a+ = + , 所以数列{ }na 是公差为2的等差数列, 设公差为 d , 则 2d = . 又因为 2 3S a= , 所以 1 2 3a a a+ = , 得 1 2a d= = . 所以 1 ( 1) 2 ( )na a n d n n = + − = N . 又因为 1 3 ma a a  成等比数列, 所以 2 3 1 ma a a=  , 即36 2 2m=  , 得 9m = . (2) （5分）因为 22 2 2 4n nnb n n= − = − , 所以 1 2 1 2 1 2 (2 1 4 ) (2 2 4 ) (2 4 ) 2 (1 2 ) (4 4 4 ) ( 1) 4 (1 4 ) 4 4 4 2 ( 1) (4 1) 2 1 4 3 3