黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题

哈三中2022－2023学年度下学期 高一学年期中考试 数学 试卷 考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 1 B. －1 C. D. 2. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C 若，，，则 D. 若与异面，，，，，则 3. 已知长方体中，，，若与平面所成的角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，为的中点，分别为上的点，，，交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为3，在其中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高18米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角所对应的边分别为，设的面积为S，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 虚部为－2 C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 的共轭复数为 10. 对于，有如下命题，其中正确的有（ ） A. 若是锐角三角形，则不等式恒成立 B. 恒成立 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为钝角三角形 11. 已知正方体的棱长为2，面和面的中心分别为，，，，分别为，的中点，下列结论中正确的是（ ） A. 该正方体的内切球半径为1 B. 直线平面 C 直线与直线相交 D. 平面截正方体所得的截面面积为 12. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点P，使得 D. 当时，有且仅有一个点P，使得⊥平面 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 正三棱锥中，，，则直线和平面所成的角的正弦值为___． 14. 在复平面内，复数满足，i为虚数单位，则的最小值为______． 15. 赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形．如图，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为______． 16. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足．若A，B，C，D四点共圆，且点D与点A位于直线BC的两侧．，，则AD=______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17. 设，为平面内不共线的两个单位向量，，，． （1）以，基底表示； （2）若，求 18. 已知棱长均相等的正三棱柱，M，N分别为棱，中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 19. 已知锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．在下列三个条件： ①，，且； ②； ③中任选一个，回答下列问题． （1）求角A； （2）若，求内切圆的半径． 20. 如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点． （1）若，棱上是否存在点，使得平面平面？并说明理由； （2）若，，，异面直线与成角，求异面直线与所成角的余弦值． 21. 已知点为线段上的点，点为所在平面内任意一点，，，，，设，． （1）求证：，并求出的值； （2）若，求的面积． 22. 已知矩形ABCD中，，，分别为中点，为对角线交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿将，折叠，并使与重合，与重合，连接，得到由平