第03讲 复数（七大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第03讲 复数 目录 考点要求 考题统计 考情分析 （1）通过方程的解，认识复数． （2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． （3）掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 2022年I卷II卷第2题，5分 2021年II卷第1题，5分 2021年I卷第2题，5分 高考对集合的考查相对稳定，每年必考题型，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主． 知识点一、复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 3、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 题型一：复数的概念 例1．（2023·河南安阳·统考三模）已知的实部与虚部互为相反数，则实数（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·海南海口·校联考一模）若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B．2或 C． D． 例4．（多选题）（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若复数，则（    ） A． B．z的实部与虚部之差为3 C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限 例5．（2023·辽宁·校联考一模）若是纯虚数，，则的实部为______. 【解题方法总结】 无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚． 题型二：复数的运算 例6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数，则（    ） A． B．1 C． D． 例7．（2023·河北衡水·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 例8．（2023·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 例9．（2023·全国·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 设，则 （1） （2） （3） 题型三：复数的几何意义 例10．（2023·河南郑州·三模）复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例11．（2023·全国·高三专题练习）已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 例12．（2023·湖北·校联考三模）如图，正方形OABC中，点A对应的复数是，则顶点B对应的复数是（    ） A． B． C． D． 例13．（2023·全国·校联考模拟预测）在复平面内，设复