内容正文:
镇江文苑A17(高) 成品:210mm×297mm (版心:5号字) 书版11.0 2021.10.15
四 基 演 练
AE→·m=-
3x
2+
3z
2 =0
,
EF→·m=2y=0,
ì
î
í
ï
ï
ïï
取z= 3,得m=(1,0,3),又PQ→=(1,y,- 3),则|cos<PQ→,m>|=
PQ→·m
|PQ→|·|m|
=
1
4+y2
∈ (0,12
ù
û
úú.所以直线PQ与平面AEF 所成角的取值范围为 (0,π6
ù
û
úú.
第18题图
18.如图,在梯形ABCD 中,AB∥CD,∠BCD=
2π
3
,四边形ACFE
为矩形,且CF⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1.
(1)求证:EF⊥平面BCF.
(2)点M 在线段EF 上(含端点)运动,当点 M 在什么位置时,平面
MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大? 并求此时二面角的余弦值.
【解析】 (1)在梯形ABCD 中,因为AB∥CD,AD=CD=BC=1,
又因为∠BCD=
2π
3
,所以AB=2,所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·
cos60°=3.所以AB2=AC2+BC2.所以BC⊥AC.因为CF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以
AC⊥CF,而CF∩BC=C,所以AC⊥平面BCF.因为EF∥AC,所以EF⊥平面BCF.
(2)由(1)可建立分别以直线CA,CB,CF 为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系,因为 AD=
CD=BC=CF=1,令FM=λ(0≤λ≤ 3),则C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),所以AB→=
(-3,1,0),BM→=(λ,-1,1).设n1=(x,y,z)为平面 MAB 的一个法向量,由
n1·AB→=0,
n1·BM→=0,{ 得
- 3x+y=0,
λx-y+z=0,{ 取x=1,则n1=(1,3,3-λ).因为n2=(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量,所以
cosθ=
|n1·n2|
|n1|·|n2|=
1
1+3+ ( 3-λ)
2
×1
=
1
(λ-3)
2
+4
.因为0≤λ≤3,所以当λ=0时,cosθ有
最小值 7
7
,所以点 M 与点F 重合时,平面 MAB 与平面FCB 所成二面角最大,此时二面角的余弦值
为 7
7.
11 直线与圆的位置关系
一、 单项选择题
1.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2 与圆C1 关于直线x-y-1=0对称,则圆C2 的方程
为 ( )
A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1
C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1
【答案】 B
【解析】 在圆C2 上任取一点(x,y),则此点关于直线x-y-1=0的对称点(y+1,x-1)在圆
C1:(x+1)2+(y-1)2=1上,所以有(y+1