内容正文:
镇江文苑A17(高) 成品:210mm×297mm (版心:5号字) 书版11.0 2021.10.15
四 基 演 练
-1,0),CP→=(0,-1,6),由
n2·CB→=0,
n2·CP→=0{ 可得
3x2-y2=0,
y2- 6z2=0.{ 令z2=1得n2=(2,6,1).设二面
角A-PB-C 的平面角为θ,所以cosθ=
|n1·n2|
|n1||n2|=
1
3
,所以二面角A-PB-C 的余弦值为
1
3.
18.如图1,在四棱 锥 F-ABCD 和 四 面 体F'-EA'D'中,四 边 形 ABCD 为 矩 形,△FAD 和
△F'A'D'全等,△EA'D'为等边三角形,且AD=
2
2AB
,四棱锥F-ABCD 的四条侧棱相等,F'E⊥平
面EA'D'.现将两个几何体中的△FAD 和△F'A'D'重合,构成一个新的几何体FEABCD,如图2所
示,且CD⊥EA.
第18题图
(1)证明:点E 为平面BAF 和平面CDF 的一个公共点;
(2)求平面AED 与平面BCF 所成角(锐角)的余弦值.
【解析】 (1)如图2,因为CD⊥AD,CD⊥EA,EA∩AD=A,所以CD⊥平面EAD.如图1,因
为F'E⊥平面EA'D',又如图2,△EAD 与△EA'D'重合,所以FE⊥平面EAD,所以CD∥FE.所以
C,D,E,F 四点共面,即点E 在平面CDF 内;又因为CD∥AB,所以EF∥AB.所以B,A,E,F 四点
共面,即点E 在平面BAF 内.所以E 为平面BAF 与平面CDF 的一个公共点.
(2)在平面ABCD 中,取AD 中点O,作Oy⊥AD,如图,以O 为坐
标原点,OA,Oy,OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建系,则A(1,0,
0),D(-1,0,0),B(1,22,0),E(0,0,3),F(0,2,3).又因为平面
ADE⊥平面ABCD,所以m=(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量.设平
面BCF 的法向量为n=(x,y,z),因为BF→=(-1,- 2,3),BC→=(-2,
0,0),所以
-2x=0,
-x- 2y+ 3z=0,{ 令y= 3,则解得x=0,z= 2,所以平
面BCF 的法向量为n=(0,3,2).记平面AED 与平面BCF 所成的角为θ,可得|cosθ|=
|m·n|
|m||n|=
3
5
=
15
5
所以平面AED 与平面BCF 所成角(锐角)的余弦值为
15
5
10 空间角和距离的计算
一、 单项选择题
1.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a,且长为a 的棱与长为 2的棱异面,则a 的取
值范围是 ( )
A.(0,2) B.(0,3) C.(1,2) D.(1,3)
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