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镇江文苑A17(高) 成品:210mm×297mm (版心:5号字) 书版11.0 2021.10.15
高中数学训练与探索 考前训练
【解析】 (1)ABCD 为矩形,故CD⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=
AD,所以CD⊥平面PAD,因为PA⊂平面PAD,故PA⊥CD.
(2)过 P 作AD 的垂线,垂足为 O,过 O 作BC 的垂线,垂足为 E,连接 PE,故 PO⊥平面
ABCD,BC⊥平面POE,BC⊥PE,在直角三角形BPC 中,PE=23,EC=6,BE=2,设AB=x,则
OP= PE2-OE2= 12-x2,故四棱锥 P-ABCD 的体积为V=
1
3
·8·x· 12-x2 ≤
8
3
·
x2+12-x2
2 =16
,当且仅当x= 12-x2,即AB= 6时,四棱锥P-ABCD 的体积最大.
第18题图
18.在如图所示的五面体ABCDEF 中,△ADF 是正三角形,四边
形ABCD 为菱形,∠ABC=
2π
3
,EF∥平面ABCD,AB=2EF=2,点M
为BC 的中点.
(1)在直线CD 上是否存在一点G,使得平面EMG∥平面BDF?
请说明理由.
(2)请在下列两个条件中任选一个,求该五面体ABCDEF 的体积.
①cos∠BDF=
1
4
;②EM=2.
【解析】 (1)连接AC 交BD 于点O,连接OM,OF,取CD 的中 点G,连接GM,GE.因为EF∥
平面ABCD,EF⊂平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以EF∥AB.因为OM∥AB∥
EF,OM=
1
2AB=EF
,所以四边形OMEF 是平行四边形,所以OF∥EM,因为EM⊄平面BDF,
OF⊂平面BDF,所以EM∥平面BDF.因为点G 与点M 分别为CD 与BC 的中点,所以GM∥BD.
因为GM⊄平面BDF,BD⊂平面BDF,所以GM∥平面BDF.而GM∩EM=M,平面EMG∥平
面BDF.
(2)选择①:在△BDF 中,BD=DF=2,cos∠BDF=
1
4
,所以BF= 6.取AD 中点N,连接
FN,BN.在△BNF 中,BN=FN= 3,BF= 6,所以BN⊥FN.因为△ABD 是正三角形,所以BN⊥
AD.因为AD∩FN=N,所以 BN⊥平面 ADF.因为 BN⊂平面 ABCD,所以平面 ADF⊥平面
ABCD.如图,五面体ABCDEF 可由三棱柱ADF-BCP 截去三棱锥E-BCP 得到.所以V五面体ABCDEF=
V三棱柱ADF-BCP-V三棱锥-BCP=
5
6V三棱柱ADF-BCP=
5
6
·S△ADF·BN=
5
2.
选择②:由(1)有OF=EM=2,取
AD 中点N,连接FN,ON,BN.在△ONF 中,FN= 3,ON=1,OF=2,所以ON⊥FN.因为△ADF
是正三角形,所以AD⊥FN.因为AD∩ON=N,所以FN⊥平面ABCD,所以平面ADF⊥