第6章 大单元14 导数及其应用-高中数学训练与探索之大单元微专题（教师版）

第6章 函数与导数 大单元 14 导数及其应用 导数是研究函数性质的重要工具.导数问题在选择题、填空题、解答题中常考常新,导数综合问题长 期位于压轴位置,是高考的热点也是难点.主要考点有函数图象的切线、函数的单调性,以及由单调性派 生的极值、最值、零点、不等式的证明等.试题综合性高、难度大,涉及多种数学思想和核心素养. 考 点 一 曲线的切线、函数的单调性 例1 (2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y=aex+xlnx 在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 ( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1 【答案】 D 【解析】 因为y'=aex+lnx+1,所以切线的斜率k=y'|x=1=ae+1=2.所以a=e-1,切点坐标 为(1,1).将(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.故选D. 例2 (2021·北京卷)已知函数f(x)= 3-2x x2+a. (1)若a=0,求y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间、最大值和最小值. 【解析】 (1)当a=0时,f(x)= 3-2x x2 ,f'(x)= 2(x-3) x3 ,所以f(1)=1,f'(1)=-4.所以,曲 线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=-4(x-1),即4x+y-5=0. (2)因为f(x)= 3-2x x2+a ,则f'(x)= 2(x2-3x-a) (x2+a)2 . 由题意f'(-1)= 2(4-a) (1+a)2=0 ,解得a=4.所 以f(x)= 3-2x x2+4 ,f'(x)= 2(x+1)(x-4) (x2+4)2 . 列表如下: x (-∞,-1) -1 (-1,4) 4 (4,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以,函数f(x)的单调增区间是(-∞,-1)和(4, +∞),单调减区间是(-1,4).函数f(x)的极大值是 f(-1)=1,极小值是f(4)=- 1 4. 又x→∞时,f(x)= 3-2x x2+4= 3 x2- 2 x 1+ 4 x4 → 0-0 1+0=0 ,函数y=f(x)的大致图象如图所示.所以f(x)的最大值是f(-1)=1, 255 高中数学训练与探索(大单元微专题) 最小值是f(4)=- 1 4. 说明:极值不一定是最值,极值刻画函数局部性质,最值反映函数整体特征.本题也可以从x< 3 2 时,f(x)>0,说明此时f(x)的取值不小于极小值- 1 4 ;从x> 3 2 时,f(x)<0,说明此时f(x)的取值 不大于极大值1.结合单调性就能肯定这里的极大值就是最大值,极小值就是最小值. 例3 已知函数f(x)=2ex+aln(x+1)-2. (1)当a=-2时,讨论f(x)的单调性; (2)当x∈[0,π]时,f(x)≥sinx 恒成立,求a 的取值范围. 【解析】 (1)当a=-2时,f(x)=2ex-2ln(x+1)-2.当x>-1时,f'(x)=2ex- 2 x+1 , f'(x)在(-1,+∞)上单调递增,且f'(0)=0,当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时, f'(x)>0.所以函数f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)令g(x)=f(x)-sinx=2ex+aln(x+1)-2-sinx,x∈[0,π].当x∈[0,π]时,f(x)≥ sinx恒成立等价于g(x)≥g(0)=0恒成立.由于g'(x)=f'(x)-cosx=2ex+ a x+1-cosx ,x∈[0, π].所以(i)当a≥0时,g'(x)≥2ex-1>0,函数y=g(x)在[0,π]上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0 在区间[0,π]上恒成立,符合题意.(i)当a<0时,g'(x)=2ex+ a x+1-cosx 在(0,π)上单调递增, g'(0)=2+a-1=1+a.① 当1+a≥0,即-1≤a<0时,g'(x)≥g'(0)=1+a≥0,函数y=g(x)在 (0,π)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0在(0,π)上恒成立,符合题意.② 当1+a<0,即a<-1时, g'(0)=1+a<0,g'(π)=2eπ+ a π+1+1. 若g'(π)≤0,即a≤-(π+1)(2eπ+1),g'(x)在(0,π)内恒 小于0,则g(x)在(0,π)上单调递减,g(x)<g(0)=0,不符合题意.若g'(π)>0,即-(π+1)(2eπ+1)< a<-1,存在x0∈(0,π),使得g'(x0)=0.所以当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,则g(x)在(0,x0)上