第6章 大单元13 基本初等函数、方程与不等式-高中数学训练与探索之大单元微专题（教师版）

第6章 函数与导数 第6章 函数与导数 大单元 13 基本初等函数、方程与不等式 函数是贯穿高中数学课程的主线,也是高考重点考查的内容.在选择题、填空题中至少有4道小题涉 及函数,解答题中函数与导数结合,并在压轴位置呈现.涉及函数主要考点有函数的概念、图象与性质,方 程与不等式等.考查难度中等偏上,涉及数形结合、分类讨论、逻辑推理和数学建模等思想方法或核心素养. 考 点 一 函数的图象与性质 例1 写出一个满足f(x)=f(2-x)的奇函数:f(x)= ,定义域为 . 【答案】 sin πx 2 ,R. 【解析】 因为f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)⇔y=f(x)的图象关于原点轴对称,又f(x)= f(2-x)⇔f(1-x)=f(1+x)⇔y=f(x)的图象关于直线x=1对称,所以,f(x+4)=f(2-(x+ 4))=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(2-(x+2))=-f(-x)=f(x),故f(x)是一个周期函数, T=4是它的一个周期.取函数f(x)=sin πx 2 ,定义域为R,显然它满足题设所有要求. 说明:本题答案不唯一,如f(x)=0,定义域为R,或定义域为Z,… 例2 已知函数f(x)= xlnx, x>0, x ex , x≤0, ì î í ïï ï 则函数y=f(1-x)的图象大致是 ( ) 【答案】 B. 【解析】 当x=1时,y=f(1-x)=f(1-1)=f(0)= 0 e0=0 ,排除CD.当x<0时,1-x>1, y=f(1-x)=(1-x)ln(1-x)>0,排除A. 235 高中数学训练与探索(大单元微专题) 说明:本题也可以从下面角度判断函数y=f(1-x)的图象:当0<x<1时,0<1-x<1,f(1- x)=(1-x)ln(1-x)<0;当x>1时,1-x<0,f(1-x)= 1-x e1-x <0. 需要注意的是,函数y= f(1-x)的图象与y=f(x)的图象关于直线x= 1 2 对称.所以,也可以先思考y=f(x)的图象,再进 行图象变换. 考 点 二 方程与不等式 例3 已知函数f(x)= 2x-1, x≤0, -x2-3x, x>0,{ 若不等式|f(x)|≥mx-2恒成立,则实数m 的取 值范围为 ( ) A.[3-22,3+22] B.[0,3-22] C.(3-22,3+22) D.[0,3+22] 【答案】 D 【解析】 由 函 数 的 解 析 式 易 知 f(x)≤0 恒 成 立,则|f(x)|= -2x+1, x≤0, x2+3x, x>0,{ 不等式|f(x)|≥mx-2恒成立,等价于函数y=|f(x)|的图 象在函数y=mx-2图象的上方恒成立.作出函数y=|f(x)|的图象,如图所示, 函数y=mx-2的图象是过定点(0,-2)的直线,由图可知,当m<0时,不满足题意;当m=0时,满 足题意;当m>0时,考虑直线y=mx-2与曲线y=x2+3x(x>0)相切的情况.由 y=mx-2, y=x2+3x,{ 得 x2+(3-m)x+2=0,令Δ=(3-m)2-8=m2-6m+1=0,解得m=3+22或m=3-22,结合图 形可知0<m≤3+22.综上,m 的取值范围是[0,3+22]. 例4 已知函数f(x)= x2-x, x≤0, ln(x+1), x>0,{ 若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0-1,则实数a 的取 值范围是 ( ) A.(0,+∞) B.[-3,0] C.(-∞,-3]∪[3,+∞) D.(-∞,-3]∪(0,+∞) 【答案】 D 【解析】 根据题意,函数f(x)= x2-x, x≤0, ln(x+1), x>0,{ 的图象如图所示.直 线y=ax-1恒过定点(0,-1).若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0-1,则函数 f(x)的图象在直线y=ax-1下方有图象或与直线有交点.当a=0时,f(x) 的图象恒在y=ax-1图象的上方,不符合题意;当a>0时,直线y=ax-1经 过第一、三、四象限,与f(x)的图象必有交点,符合题意;当a<0时,直线y= ax-1经 过 第 二、三、四 象 限,若 直 线 y=ax-1与 f(x)有 交 点,必 然 相 交 于 第 二 象 限.由 y=x2-x, y=ax-1{ 即ax-1=x 2-x,变形可得x2-(a+1)x+1=0.令Δ=0,解得a=-3或1(舍),则有 a≤-3,综上可得,a 的取值范围为(-∞,-3]∪(0,+∞). 方法点拨 函数图象的应用主要体现为数形结合思想,借助于函数图象的特点和变化规律,求解 有关不等式恒成立(存在性)、最值、交点、方程的根等问题.求解两个函数图象在给定区间上的交点个 数问题时,可以先画出已知函数完整的图象,再观察. 236