第5章 大单元11 直线与圆的位置关系-高中数学训练与探索之大单元微专题（教师版）

第5章 解析几何 第5章 解析几何 大单元 11 直线与圆的位置关系 1.圆的方程、直线与圆的位置关系为高考必考内容,多以选择题(含多选题)或填空题的形式出现, 有时也会与圆锥曲线相结合进行考查,一般为中等难度. 2.本单元重点考查函数与方程、数形结合及转化与化归思想的应用. 考 点 一 直线与圆的位置关系 例1 已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2(r>0)内一点,直线m 是以P 为中点的弦所在的 直线,直线l的方程为ax+by=r2,那么 ( ) A.m∥l,且l与圆相交 B.m⊥l,且l与圆相切 C.m∥l,且l与圆相离 D.m⊥l,且l与圆相离 【答案】 C 【解析】 因点P 在圆内,故有a2+b2<r2,直线m 是以P 为中点的弦所在的直线,所以m⊥ OP,所以直线m 的斜率km=- a b ,因此m∥l.又直线l到圆心(0,0)的距离d= r2 a2+b2 > r2 r=r , 故直线l与圆相离.故选C. 例2 (2020·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距 离为 ( ) A. 5 5 B. 25 5 C. 35 5 D. 45 5 【答案】 B 【解析】 由于圆上的点(2,1)在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆至少与一条坐标轴相交,不 合乎题意,所以圆心必在第一象限.设圆心的坐标为(a,a),圆 的 半 径 为a,圆 的 标 准 方 程 为 (x-a)2+(y-a)2=a2.由题意可得(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5, 所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5).圆心(1,1)到直线2x-y-3=0的距离均为d1= |2×1-1-3| 5 = 25 5 ,圆心(5,5)到直线2x-y-3=0的距离均为d2= |2×5-5-3| 5 = 25 5 ,圆心到直线2x-y-3= 181 高中数学训练与探索(大单元微专题) 0的距离均为d= |-2| 5 = 25 5 ,所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为 25 5 . 故选B. 例3 (多选)已知直线l:mx-(2-m)y+1-m=0,圆C:(x-1)2+y2=1,则下列结论正确的是 ( ) A.存在m 的一个值,使直线l经过圆心C B.无论m 为何值时,直线l与圆C 一定有两个公共点 C.圆心C 到直线l的最大距离是 2 2 D.当m=1时,圆C 关于直线l对称的圆的方程为x2+(y-1)2=1 【答案】 BCD 【解析】 圆心坐标为C(1,0),代入直线l得m+1-m=0,无解,所以不论m 为何值,圆心都不 在直线l上,A错;直线l的方程整理为m(x+y-1)-2y+1=0,由 x+y-1=0, -2y+1=0,{ 解得 x= 1 2 , y= 1 2 , ì î í ï ï ï ï 即直 线l过定点M (12, 1 2 ),又|MC|= ( 1 2-1) 2 + (12 ) 2 = 2 2<1 ,M 在圆C 内部,所以直线与圆相交, B正确;设直线l与圆相交于A,B 两点,弦AB 的中点为N,则CN⊥AB,CN 为C 到直线AB 的距 离,显然CN≤CM,N,M 重合时取等号,MC= 2 2 ,C正确;m=1时直线l方程为x-y=0,C(1,0) 关于l的对称点为(0,1),因此对称圆方程为x2+(y-1)2=1,D正确.故选BCD. 方法点拨:判断直线与圆的位置关系的常见方法有:(1)几何法:利用d 与r 的关系;(2)代数 法:联立方程之后利用Δ 判断;(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线 与圆相交.圆的切线是直线与圆中考查比较聚焦的问题,问题设置比较灵活,运用圆心到直线的距离 等于半径的方法往往计算比较简便. 考 点 二 弦长问题 例4 直线x+y+2=0分别与x 轴、y 轴交于A,B 两点,点P 在圆(x-2)2+y2=2上,则 △ABP 面积的取值范围是 ( ) A.[2,6] B.[4,8] C.[2,32] D.[22,32] 【答案】 A 【解析】 方法1 由直线x+y+2=0易知A(-2,0),B(0,-2),故|AB|= (-2)2+22= 22.圆(x-2)2+y2=2的圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为 |2+2| 2 =22,所以r= 2,所以 点P 到直线x+y+2=0的距离d 的取值范围为[22- 2,22+ 2],即[2,32].所以S△ABP= 1 2×|AB|×d= 1 2×22d= 2d∈ [2,6],故选A. 方法2 设P(x,y),则点P 到直线AB 的距离d= |x+y+2| 2 ,令t=x+y+2,则y=x-t+2, 代入圆的方程整理得2x2-2tx+t2-4t+