第4章 大单元10 空间角和距离的计算-高中数学训练与探索之大单元微专题（教师版）

第4章 立体几何与空间向量 大单元 10 空间角和距离的计算 1.空间角和距离的计算是高考的必考内容,考查形式多样,在选择题、填空题、解答题中均有考查. 2.空间角和距离的计算问题通常有四类:用综合法求空间距离、用综合法求空间角、用空间向量法 求空间角、综合法与空间向量法的综合应用.综合法更多地出现在解决选择题、填空题中,而空间向量法 则更多地应用于解决解答题.解题时,如能结合试题特点将两种方法灵活使用,则可以达到事半功倍的 效果. 考 点 一 用综合法求空间距离 例1 (2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是面积为 93 4 的等边三角形,且其顶点都在球O 的球面上. 若球O 的表面积为16π,则O 到平面ABC 的距离为 ( ) A.3 B. 3 2 C.1 D. 3 2 【答案】 C 【解析】 设球O 的半径为R,则4πR2=16π,解得R=2.设△ABC 外接 圆的半径为r,边长为a,∵ △ABC 是面积为 93 4 的等边三角形,∴ 1 2a 2× 3 2= 93 4 ,解得a=3,∴r= 2 3× a 2- a2 4= 2 3× 9- 9 4= 3 ,∴ 球心O 到平面ABC 的距离d= R2-r2= 4-3=1. 例2 如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形,AA1=4,AB=2, ∠BAD=60°,E,M,N 分别是BC,BB1,A1D 的中点. (1)证明:MN∥平面C1DE; (2)求点C 到平面C1DE 的距离. 【解析】 (1)连接 ME,B1C,∵ M,E 分别为BB1,BC 中点,∴ ME 为 △B1BC 的中位线,∴ME∥B1C 且ME= 1 2B1C. 又N 为A1D 的中点,且A1D􀰿 B1C,∴ ND∥B1C 且ND= 1 2B1C ,∴ ME􀰿ND,∴ 四边形MNDE 为平行四边 形,∴ MN∥DE.又MN⊄平面C1DE,DE⊂平面C1DE,∴ MN∥平面C1DE. (2)在菱形ABCD 中,E 为BC 的中点,所以DE⊥BC.根据题意有DE= 3, C1E= 17.因为棱柱为直棱柱,所以有DE⊥平面BCC1B1,所以DE⊥EC1,所以 S△DEC1= 1 2× 3× 17. 设点C 到平面C1DE 的距离为d,根据题意有VC1-CDE= 165 高中数学训练与探索(大单元微专题) VC-C1DE,则有 1 3× 1 2× 3× 17×d= 1 3× 1 2×1× 3×4 ,解得d= 4 17 = 4 17 17 ,所以点C 到平面 C1DE 的距离为 4 17 17 . 方法点拨:用综合法求空间距离,通常有直接法和间接法两种方法.直接法需要根据所求距离的 类型,根据定义,作出所求距离对应的线段,然后根据几何关系进行求解;间接法不需要作出所求距离 对应的线段,通常采用等体积代换直接进行求解. 考 点 二 用综合法求空间角 例3 (2020·全国新高考Ⅰ卷)日晷是中国古代用来测定时间的 仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看 成一个球(球心记为O),地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所 在平面所成角,点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A 处的纬度为北纬 40°,则晷针与点A 处的水平面所成角为 ( ) A.20° B.40° C.50° D.90° 【答案】 B 【解析】 画出截面图如下图所示,其中CD 是赤道所在平面的截线.l是 点A 处的水平面的截线,依题意可知OA⊥l.AB 是晷针所在直线.m 是晷面 的截线,依题意可知 m∥CD,AB⊥m.由于∠AOC=40°,m∥CD,所以 ∠OAG=∠AOC=40°.由于∠OAG+∠GAE=∠BAE+∠GAE=90°,所以 ∠BAE=∠OAG=40°,也即晷针与点A 处的水平面所成角为∠BAE=40°. 例4 (2021·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,P 为B1D1 的中点,则直线PB 与AD1 所成的角为 ( ) A. π 2 B. π 3 C. π 4 D. π 6 【答案】 D 【解析】 如图,连接BC1,PC1,PB,因为AD1∥BC1,所以∠PBC1 或 其补角为直线 PB 与AD1 所成的角.因为BB1⊥平面 A1B1C1D1,所以 BB1⊥PC1.又PC1⊥B1D1,BB1∩B1D1=B1,所以PC1⊥平面PBB1,所 以PC1⊥PB.设正方体的棱长为2,则BC1=2 2,PC1= 1 2D1B1= 2 , sin∠PBC1= PC1 BC1= 1 2 ,所以∠PBC1= π 6. 例5 如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平行四边形,BA=BD= 2,AD=2,PA=P