第4章 大单元9 空间点、线、面的位置关系-高中数学训练与探索之大单元微专题（教师版）

高中数学训练与探索(大单元微专题) 大单元 9 空间点、线、面的位置关系 1.空间点、线、面的位置关系是高考的必考内容,多以选择题、解答题的形式进行考查. 2.空间点、线、面的位置关系的问题主要有三类: (1) 借助常见几何体模型(如长方体、正三棱柱等) 判定; (2) 根据概念、定理、性质进行判定; (3) 在动态变化中进行判断.高考中以基础题和中档题为主, 意在考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归能力. 考 点 一 借助常见几何体模型判定空间点、线、面的位置关系 例1 (2021·全国新高考Ⅱ卷)(多选)如图,下列各正方体中,O 为下底面的中心,M,N 为顶 点,P 为所在棱的中点,则满足MN⊥OP 的是 ( ) 【答案】 BC. 【解析】 方法1(空间向量法) 设正方体的边长为2,建立如图所示的空间直角坐标系. 选项A,O(1,1,0),P(0,2,1),M(2,0,2),N(0,2,2),则MN→=(-2,2,0),OP→=(-1,1,1), MN→·OP→≠0,所以选项A错误;选项B,O(1,1,0),P(2,0,1),M(0,0,2),N(2,0,0),则MN→=(2,0, -2),OP→=(1,-1,1),MN→·OP→=0,所以选项B正确;选项C,O(1,1,0),P(0,0,1),M(2,2,2), N(0,2,0),则MN→=(-2,0,-2),OP→=(-1,-1,1),MN→·OP→=0,所以选项C正确;选项D,O(1, 1,0),P(2,1,2),M(0,2,2),N(0,0,0),则MN→=(0,-2,-2),OP→=(1,0,2),MN→·OP→≠0,所以选 项D错误. 方法2(综合法) 选项A,如图1,连接AB,可知A,B,O,P,M,N 共面,且OP 与MN 不垂直, 所以选项A错误;选项B,作如图2所示的辅助线,MN⊥PQ,MN⊥OQ,所以MN⊥平面OPQ,所以 MN⊥OP,所以选项B正确;选项C,如图3,在正方体中,OP∥CD,CD⊥平面AMN,所以PO⊥平 面AMN,所以MN⊥OP,所以选项C正确;选项D,如图4,设正方体的棱长为2,取AD 的中点Q,连 接PQ,OQ,则OQ2=3,PQ2=2,OP2=5,所以OP 与PQ 不垂直.又因为MN∥PQ,所以OP 与MN 不 148 第4章 立体几何与空间向量 垂直,所以选项D错误. 例2 如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则在这 四个正方体中,直线AB 与平面MNQ 不平行的是 ( ) 【答案】 A. 【解析】 方法1 对于选项B,如图1所示,连接CD,因为AB∥CD,M,Q 分别是所在棱的中点,所以MQ∥CD,所以AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ,MQ⊂ 平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C,D中均有AB∥平面 MNQ. 故选A. 方法2 对于选项A,设正方体的底面对角线的交点为O(如图2所示),连接 OQ,则OQ∥AB.因为OQ 与平面MNQ 有交点,所以AB 与平面MNQ 有交点, 即AB 与平面MNQ 不平行,故选A. 例3 (多选)下列四个命题正确的有 ( ) A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B.过空间中任意三点有且仅有一个平面 C.若空间两条直线不相交,则这两条直线平行 D.若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l 【答案】 AD 【解析】 选项A,借助三棱柱等底面为三角形的几何模型,易知A正确;选项B,如果这三点在同 一条直线,此时过这三点的平面有无数个,故B错误;选项C,借助长方体或正方体可知,两条直线不 相交,还可能是平行或者异面,故C错误;选项D,借助直棱柱或直棱锥等侧棱垂直于底面的几何体模 型,故D正确. 方法点拨:空间点、线、面的位置关系,意在考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归 能力.解决此类问题常需联想相关的几何体(如正方体、正三棱柱等)模型进行直观判定. 考 点 二 利用概念、定理、性质判定点、线、面的位置关系 例4 设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 ( ) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 【答案】 B. 【解析】 选项A,α内有无数条直线与β平行,当这无数条直线互相平行时,α与β可能相交,故选 项A错误;选项B,根据两平面平行的判定定理与性质可知,选项B正确;选项C,平行于同一条直线 149 高中数学训练与探索(大单元微专题) 的两个平面可能相交也可能平行,故选项C错误;选项D,垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可 能平行,比如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面,但它们是相交的,故选项D错误. 例5