第4章 大单元8 空间几何体的面积与体积-高中数学训练与探索之大单元微专题（教师版）

第4章 立体几何与空间向量 第4章 立体几何与空间向量 大单元 8 空间几何体的面积与体积 1.空间几何体的面积与体积是高考的必考内容,命题形式多样,选择题、填空题、解答题中均有 考查. 2.直接运用公式或者利用化归思想求空间几何体的面积与体积是高考中的热点问题,这类问题有 一定的运算量,突出对方程思想、化归思想的考查.高考中还经常将面积与体积的计算放到具体的情境中 考查,对数学阅读、抽象、建模能力有较高要求. 考 点 一 直接运用公式求空间几何体的面积与体积 例1 (2021·全国新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,则四棱台 的体积为 ( ) A.20+123 B.282 C. 282 3 D. 56 3 【答案】 C. 【解析】 设正四棱台的上、下底面边长分别为a,b,高为h,侧棱长为l,则h2=l2- ( 22b- 2 2a) 2 =2,所以四棱台的体积V= 1 3h (S上+ S上 S下 +S下)= 1 3h (a2+ a2b2+b2)= 282 3 . 例2 (多选)已知圆台上、下底面的圆心分别为O1,O2,半径分别为2,4,圆台的母线与下底面所 成角的正切值为3,P 为线段O1O2 上一点,则 ( ) A.圆台的母线长为6 B.当圆锥PO1 与圆锥PO2 的体积相等时,PO1=4PO2 C.圆台的体积为56π D.当圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上时,该球的表面积为80π 【答案】 BCD. 【解析】 设圆台的上、下底面半径分别为a,b,高为h,母线长为l,则对于A, h b-a=3 ,所以h= 6,所以母线长l= h2+(b-a)2=2 10,A错误;对于B,因为圆锥PO1 与圆锥PO2 的体积相等, 131 高中数学训练与探索(大单元微专题) 所以1 3π ·22PO1= 1 3π ·42PO2,所以PO1=4PO2,B正确;对于C,圆台的体积V= 1 3h (S上+ S上 S下 +S下)= 1 3×6 (4π+8π+16π)=56π,C正确;对于D,设球的半径为R,球心到下底面的距离 为h1,所以 R2=22+(6-h1)2, R2=42+h21,{ 解得R 2=20,所以球的表面积为S=4πR2=80π,D正确. 例3 (2020·全国Ⅰ卷)如图,D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心, △ABC 是底面的内接正三角形,P 为DO 上一点,∠APC=90°. (1)证明:平面PAB⊥平面PAC; (2)设DO= 2,圆锥的侧面积为 3π,求三棱锥P-ABC 的体积. 【解析】 (1)由题设可知,PA=PB=PC.由于△ABC 是正三角形,故可得 △PAC≌△PAB,△PAC≌△PBC.又∠APC=90°,故∠APB=90°,∠BPC= 90°.从而PB⊥PA,PB⊥PC,故PB⊥平面PAC,所以平面PAB⊥平面PAC. (2)设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题设可得rl= 3,l2-r2=2,解得r=1,l= 3,从而 AB= 3.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC= 6 2. 所以三棱锥P-ABC 的体积为 1 3× 1 2×PA×PB×PC= 1 3× 1 2× ( 6 2 ) 3 = 6 8. 方法点拨:对于规则几何体的面积和体积问题,最自然的方法就是直接运用公式进行求解.解决 该类问题,要结合图形,分析各个基本量的关系,求出公式中的基本量,代入公式求解. 考 点 二 利用化归思想求空间几何体的面积与体积 例4 (2021·八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径 分别为4和5,则该圆台的体积为 . 【答案】 61π 【解析】 如图,将圆台补成圆锥,设圆台的上、下底面半径分别为r,R,圆台的 高为h,圆锥的顶点到小圆的距离为h1,则 h2=R2-r2, r R= h1 h1+h , ì î í ïï ïï 解得 h=3, h1=12,{ 所以 V小圆锥 V大圆锥= h31 (h1+h)3 = 64 125. 所以圆台的体积V= 61 125V大圆锥=61π. 例5 如图,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为1的正方形,且 △ADE,△BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为 ( ) A. 2 3 B. 3 3 C. 4 3 D. 3 2 【答案】 A. 【解析】 如图,分别过点A,B 作EF 的垂线,垂足分别为G,H,连接DG, CH,容易求得EG=HF= 1 2 ,AG=GD=BH=HC= 3 2. 取AD 的中点O,连接 GO,易得GO= 2 2.∴S△AGD=S△BHC= 1 2× 2 2×1= 2 4 ,∴ 多面体的体积V= V三棱锥E-ADG+V三棱锥F-