第3章 大单元7 概率、随机变量及其分布-高中数学训练与探索之大单元微专题（教师版）

高中数学训练与探索(大单元微专题) 大单元 7 概率、 随机变量及其分布 概率是高考的必考内容之一,命题形式多样,选择题、填空题、解答题都有考查,通常与统计综合考 查.本单元主要考点有: (1) 排列、组合与二项式定理,通常以选择、填空形式出现,难度中等; (2) 随机事 件的概率计算,各种题型均可考查; (3) 随机变量的分布列及其数字特征,并能解决简单的实际问题.本 单元意在考查学生的数据处理能力、运算求解能力、逻辑推理能力、数学阅读能力,考查的核心素养是数 据分析、数学运算. 考 点 一 排列、组合与二项式定理 例1 (2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个 项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有 ( ) A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 【答案】 C 【解析】 先分组有 C25C13C12C11 A33 =10种,再排序有10A44=240种. 例2 (2021·浙江卷)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1= ,a2+a3+a4= . 【答案】 5;10. 【解析】 根据二项式通项公式:a1x3=C03x3(-1)0+C14x311=5x3,故a1=5, 方法1:同理,a2x2=C13x2(-1)1+C24x212=-3x2+6x2=3x2⇒a2=3,a3x=C23x1(-1)2+ C34x113=3x+4x=7x⇒a3=7,a4=C33x0(-1)3+C44x014=0,所以a2+a3+a4=10. 方法2:令x=1,得1+a1+a2+a3+a4=24=16,所以a2+a3+a4=10. 方法点拨:理解两个计数原理,熟练使用排列组合公式以及二项式定理进行运算. 考 点 二 概率的计算 例3 在3张卡片上分别写上3位同学的学号后,再把卡片随机分给这3位同学,每人1张,则恰 有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为 ( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】 C 【解析】 设事件A 为“恰有1位同学分到写有自己学号的卡片”,则P(A)= 3 A33 = 1 2. 例4 (2021·全国新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随 机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球 114 第3章 概率与统计 的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和 是7”,则 ( ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 【答案】 B 【解析】 设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D),则P(A)=P(B)= 1 6 ,P(C)= 5 6×6= 5 36 ,P(D)= 6 6×6= 1 6. 对于 A选项,P(AC)=0;对于B 选项,P(AD)= 1 6×6= 1 36 ;对于C选项,P(BC)= 1 6×6= 1 36 ;对于D选项,P(CD)=0.若两事件X,Y 相互独立,则P(XY)= P(X)P(Y),因此B选项正确. 方法点拨:弄清概率的基本概念及概率的计算方法,关键要抓住随机试验的样本空间. 考 点 三 随机变量的分布列与期望、方差 例5 设随机变量X~B(3,p),Y~N(2,σ2),P(X≥1)=0.657,P(0<Y<2)=p,则P(Y>4)= ( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 【答案】 A 【解析】 由题意P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)3=0.657,解得p=0.3,则P(0<Y<2)= 0.3,所以P(Y>4)=P(Y<0)=0.5-P(0<Y<2)=0.2,故答案选A. 例6 (2021·浙江卷)袋中有4个红球,m 个黄球,n 个绿球,现从中任取两个球,记取出的红球 数为ξ.若取出的两个球都是红球的概率为 1 6 ,一个红球、一个黄球的概率为1 3 ,则m-n= , E(ξ)= . 【答案】 1; 8 9. 【解析】 由已知得 C24 C2m+n+4 = 1 6 ,C 1 4·C1m C2m+n+4 = 1 3 ,两式相除得C 1 4·C1m C24 =2,∴ m=3,∴ C24 C27+n = 1 6 , ∴ (n+7)(n+6)=72,∴n=2,∴ m-n=1,∴ P(ξ=0)= C25 C29 = 10 36 ,P(ξ=1)= C14C15 C29 = 20 36 , P(ξ=2)= C24 C29 = 6 36 ,从而E(ξ)= 8 9. 例7 一台设备由三个部件