第1章 大单元3 平面向量及其应用-高中数学训练与探索之大单元微专题（教师版）

高中数学训练与探索(大单元微专题) 大单元 3 平面向量及其应用 在高考中平面向量主要考查向量的平行与垂直关系、向量的模和夹角的计算、向量的数量积等,主 要以选择题、填空题为主,有时出现在解答题中,主要与三角函数或解三角形相结合,以基础题和中档题 为主. 考 点 一 向量的平行和垂直关系 例1 (2021·全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb,若a⊥c,则k= . 【答案】 - 10 3. 【解析】 因为a=(3,1),b=(1,0),所以c=a+kb=(3+k,1).因为a⊥c,所以a·c=3(3+k)+ 1×1=0,解得k=- 10 3. 例2 已知e1,e2 是平面内两个不共线的非零向量,AB→=2e1+e2,BE→=-e1+λe2,EC→= -2e1+e2,且A,E,C 三点共线. (1)求实数λ的值;若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC→的坐标. (2)已知点D(3,5),在(1)的条件下,若A,B,C,D 四点构成平行四边形,求点A 的坐标. 【解析】 (1)因为AE→=AB→+BE→=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2,且A,E,C 三点共 线,所以存在实数k,使得AE→=kEC→,即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2. 因为e1,e2 是平面内两个不共线的非零向量,所以 1+2k=0, λ=k-1,{ 解得k=- 1 2 ,λ=- 3 2. 所以BC→= BE→+EC→=-3e1- 1 2e2= (-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2). (2)因为A,B,C,D 四点构成平行四边形,所以AD→=BC→.设A(x,y),则AD→=(3-x,5-y),又 BC→=(-7,-2),所以 3-x=-7, 5-y=-2,{ 解得 x=10, y=7,{ 所以点A(10,7). 方法点拨 向量的平行和垂直是两种特殊的位置关系,常用的处理方法各有两种:一是b∥a (a≠0)⇔b=λa,b⊥a⇔a·b=0;二是坐标形式b∥a⇔x1y2-x2y1=0,b⊥a⇔x1x2+y1y2=0. 考 点 二 向量的模和夹角的计算 例3 (2021·全国甲卷)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|= . 【答案】 32 【解析】 因为|a-b|=5,所以|a-b|2=a2+b2-2a·b=9+|b|2-2=25,所以|b|=32. 例4 (2020·浙江卷)已知e1,e2 为单位向量,满足|2e1-e2|≤ 2,a=e1+e2,b=3e1+e2.设 042 第1章 三角与向量 a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值为 . 【答案】 28 29 【解析】 因为|2e1-e2|≤ 2,所以4e12-4e1·e2+e22≤2,即4-4e1·e2+1≤2,所以e1·e2≥ 3 4 ,所以cos2θ= (a·b)2 a2·b2 = (4+4e1·e2)2 (2+2e1·e2)(10+6e1·e2)= 4(1+e1·e2) 5+3e1·e2 = 4 3 (1- 2 5+3e1·e2 ) ≥ 4 3 (1- 2 5+3× 3 4 )=2829. 方法点拨 向量的模和夹角的计算方法源自向量的数量积的定义,|a|= a2,cosθ= a·b |a||b| , 其中夹角计算时应注意夹角的范围是[0,π]. 考 点 三 向量与三角函数 例5 (2021·全国新高考Ⅰ卷)(多选)已知O 为坐标原点,点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ), P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 ( ) A.|OP1→|=|OP2→| B.|AP1→|=|AP2→| C.OA→·OP→3=OP1→·OP2→ D.OA→·OP1→=OP2→·OP3→ 【答案】 AC 【解析】 对于A,OP1→=(cosα,sinα),OP2→=(cosβ,-sinβ),所以|OP1 →|= cos2α+sin2α=1, |OP2→|= (cosβ)2+(-sinβ)2=1,故|OP1 →|=|OP2→|,正确;对于B,AP1→=(cosα-1,sinα), AP2→=(cosβ-1,-sinβ),所 以|AP1 →|= (cosα-1)2+sin2α= cos2α-2cosα+1+sin2α= 2(1-cosα)= 4sin2 α 2=2sin α 2 ,同理|AP2→|= (cosβ-1)2+sin2β=2sin β 2 ,故|AP1→|, |AP2→|不一定相等,错误;对于C,由题意得OA→·OP3→=1×cos(α+β)+0×sin(α+β)=cos(α+β), OP1→·OP2→=cosα·cosβ+