第1章 大单元2 三角恒等变形与解三角形-高中数学训练与探索之大单元微专题（教师版）

第1章 三角与向量 因为0<A<π,所以A= π 3. 6 分……………………………………………………………………… 所以不管选择哪个条件,A= π 3. (2)因为a2=b2+c2-2bccosA,又a= 3,A= π 3 ,所以b2+c2-bc=3. 8分…………………… 因为b2+c2≥2bc,所以2bc-bc≤3,即bc≤3,当b=c时等号成立. 所以bc的最大值为3. 10分…………………………………………………………………………… 因为S△ABC= 1 2bcsinA ,所以面积S 的最大值为 1 2×3× 3 2= 33 4 . 12 分……………………… 微专题3 　三角函数的变角与变式 在较为复杂的三角函数求值问题中,常用到变式与变角的技巧.变式包括公式的变形、切化 弦、“1”的代换等,变角是将所求角转化为已知角或特殊角的线性组合,再利用三角公式计算,有 时还要结合换元与整体思想来解决三角函数求值问题. 【问题】 (2021·全国甲卷)若α∈ (0,π2 ),tan2α= cosα 2-sinα ,则tanα= ( ) A. 15 15 B. 5 5 C. 5 3 D. 15 3 【答案】 A 【解析】 方法1 由tan2α= cosα 2-sinα ,得sin2α cos2α= cosα 2-sinα ,即2sinαcosα 1-2sin2α = cosα 2-sinα. 因为α∈ (0,π2 ),所以cosα≠0,则2sinα(2-sinα)=1-2sin 2α,解得sinα= 1 4 ,则cosα= 1-sin2α= 15 4 , 所以tanα= sinα cosα= 1 4 15 4 = 15 15 . 故选A. 方法2 如图,在平面直角坐标系xOy 中,设 A(2,0),P(cosα, sinα)(0<α<π2 ) 是单位圆O 上一点,将点P 绕坐标原点按顺时针方向 旋转 π 2 到 点 S,则 S (cos (α- π2 ),sin (α- π 2 ) ), cosα 2-sinα = 0-sin(α-π2 ) 2-cos(α-π2 ) 表示直线SA 的斜率.而将点P 绕坐标原点按逆时针方向 023 高中数学训练与探索(大单元微专题) 旋转α到点Q,则tan2α 表示直线OQ 的斜率,因为tan2α= cosα 2-sinα ,所以OQ∥SA,所以∠SAO= ∠QOA=2α,且∠SOA= π 2-α ,所以∠ASO=π-2α- (π2-α)= π 2-α. 即△SAO 是等腰三角形,所 以tanα= OH AH= 1 2 4- 1 4 = 15 15 . 故选A. 【例题】 (2020·全国Ⅲ卷)已知sinθ+sin(θ+π3 )=1,则sin(θ+ π 6 )= ( ) A. 1 2 B. 3 3 C. 2 3 D. 2 2 【答案】 B 【详解】 方法1 由题意可得sinθ+ 1 2sinθ+ 3 2cosθ=1 ,则3 2sinθ+ 3 2cosθ=1 ,3 2sinθ+ 1 2cosθ= 3 3 ,从而有sinθcos π 6+cosθsin π 6= 3 3 ,即sin(θ+π6 )= 3 3. 方法2 因为sinθ+sin(θ+π3 )=1,所以sin (θ+ π 6 )- π 6 é ë êê ù û úú+sin (θ+π6 )+ π 6 é ë êê ù û úú=1,即2sin(θ+ π 6 )cos π 6=1 ,所以sin(θ+π6 )= 3 3. 方法点拨 在三角函数的化简与求值问题中,如果能够观察得到角与角之间的联系并且把所求 的角转化为已知角组合,有时可以达到事半功倍的效果. 【联想1】 已知 tanα tan(α+π4 ) =- 2 3 ,则sin(2α+π4 ) 的值是 . 【答案】 2 10 【解析】 由 tanα tan(α+π4 ) = tanα tanα+1 1-tanα = tanα(1-tanα) tanα+1 =- 2 3 ,得3tan2α-5tanα-2=0,解得 tanα=2或tanα=- 1 3.sin(2α+ π 4 ) =sin2αcos π 4+cos2αsin π 4= 2 2 (sin2α+cos2α)= 2 2 ( 2sinαcosα+cos2α-sin2α sin2α+cos2α )= 2 2 ( 2tanα+1-tan2α tan2α+1 ) .当tanα=2时,上式= 2 2× ( 2×2+1-22 22+1 )= 2 10 ;当tanα=- 1 3 时,上式= 2 2× 2× (-13 )+1- (- 1 3 ) 2 (-13 ) 2 +1 é ë ê ê ê ê ù