第1章 大单元1 三角函数的图象与性质-高中数学训练与探索之大单元微专题（教师版）

第1章 三角与向量 第1章 三角与向量 大单元 1 三角函数的图象与性质 1.对三角函数的图象与性质的考查在高考中以选择题(包括多选题)、填空题和解答题的形式出现,一 般来说难度不大,作为解答题的主要在前两道位置,属于容易题,少数选择题的难度会达到中档题的难度. 2.关于这部分内容主要考查两个问题:一是根据图象或性质的描述确定三角函数的解析式;二是根 据三角函数的解析式研究函数的图象,以及单调性、奇偶性、周期性和对称性. 考 点 一 根据图象或性质求解析式 例1 (多选)右图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)= ( ) A.sin(x+π3 ) B.sin( π 3-2x) C.cos(2x+π6 ) D.cos( 5π 6-2x) 【答案】 BC 【解析】 由函数图象可知: T 2= 2π 3- π 6= π 2 ,则ω= 2π T= 2π π=2 ,所以不选A.当x= 2π 3+ π 6 2 = 5π 12 时,y=-1,所以2× 5π 12+φ= 3π 2+2kπ (k∈Z),解得φ=2kπ+ 2 3π (k∈Z),即函数的解析式为y= sin(2x+2π3+2kπ)=sin(2x+ π 6+ π 2 )=cos(2x+ π 6 )=sin( π 3-2x) .而cos(2x+ π 6 )=-cos( 5π 6- 2x),故选BC. 例2 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2 ) 的部分图象如图所示.f ( π 4 )= 2,f(3π8 )=0,f( 3π 4 )=- 2. (1)求f(x)的解析式; (2)将y=f(x)的图象先向右平移 π 4 个单位长度,再将图象上所有点的横 坐标变为原来的1 2 (纵坐标不变),所得到的图象对应的函数为y=g(x),求y= 001 高中数学训练与探索(大单元微专题) g(x)的单调增区间. 【解析】 (1)观察图象,由对称性得周期T=2(3π4- π 4 )=π,所以ω= 2π T=2 ,又f (3π8 )=0,可 得Asin(2·3π8+φ ) =0,所以 3π 4+φ=kπ (k∈Z).由|φ|< π 2 ,可得φ= π 4. 又f ( π4 ) = 2,所以 Asin(π2+ π 4 )= 2 2A= 2 ,解得A=2.所以f(x)=2sin(2x+π4 ) . (2)将f(x)=2sin(2x+π4 ) 的图象右平移 π 4 个单位,得到y=2sin(2x-π4 ) 的图象.再将图象上 所有点的横坐标变为原来的1 2 得到y=g(x)=2sin(4x-π4 ) .由- π 2+2kπ<4x- π 4< π 2+2kπ ,得 - π 16+ kπ 2<x< 3π 16+ kπ 2 (k∈Z),所以y=g(x)的单调增区间为 (-π16+ kπ 2 ,3π 16+ kπ 2 )(k∈Z). 例3 如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2 ) 图象 的一部分,M,N 是它与x 轴的两个交点,C,D 分别为它的最高点和最低 点,E(0,1)是线段MC 的中点. (1)若点M 的坐标为(-1,0),求点C,N,D 的坐标; (2)若点M 的坐标为(-m,0)(m>0),MC→·MD→= 3π2 4 -4 ,试确定函 数f(x)的解析式. 【解析】 (1)设点C(a,b),由中点坐标公式得 a+(-1) 2 =0 , b+0 2 =1 , ì î í ï ï ï ï 解得a=1,b=2,所以点C(1,2), 所以点N(3,0),点D(5,-2). (2)同样由E(0,1)是线段 MC 的中点,得A=2.由 M(-m,0),得C(m,2),D(5m,-2),所以 MC→·MD→=2m·6m+2×(-2)=12m2-4.又MC→·MD→= 3π2 4 -4 ,所以12m2= 3π2 4 ,解得m= π 4. 由 T= 2π ω=8m=2π ,解得ω=1,所以φ= π 4 ,所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(x+π4 ) . 方法点拨 求三角函数f(x)=Asin(ωx+φ)解析式的题型主要有两种:一是已知图象或三角函 数的性质时,根据周期确定ω,根据振幅或特定点求出A,最后根据特殊点坐标求出φ;另一种是根据 已知解析式运用图象变换的方法求出新的解析式,这种问题关键是熟练掌握平移、伸缩、翻折、对称等 几种图象变换方法. 考 点 二 根据解析式研究三角函数的性质 例4 (多选)已知函数f(x)=sin(ωx+π4 )(0<ω≤3)的图象的一条对称轴为直线x= π 8 , f'(x)为函数f(x)的导函数,函数g(x)=f(x)+f'(x),则下列说法正确的是 ( ) A.直线x=