6.6.3球的表面积和体积（课件+练习）-【超级课堂】2022-2023学年高一数学教材配套教学精品课件+分层练习(北师大版2019必修第二册）

6.6.3 球的表面积和体积 柱体、锥体、台体的表面积 各面面积之和 温故知新 展开图 圆台 圆柱 圆锥 2 柱体、锥体、台体的体积 锥体 台体 柱体 温故知新 3 新课导入 江月去人只数尺，万家灯火入人间 瞧，我们生活的蓝星，它的表面积和体积是多少呢？ 如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？ 只需要求出它们的表面积 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？ 只需求出它们的体积 那如何求球的表面积和体积呢？请进入本节课的学习！ 问题2：把直线换成平面，圆换成球，即用一个平面去截球，情况又怎样呢？ 提示：圆面. 探究点 球的截面 问题1：一条直线与圆相交，在圆内的部分是什么图形？ 提示：弦（线段）. O ß 2.球心到截面的距离d与球的半径R和截面半径r有下面的关系: 1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面． 截面：用一个平面去截一个球,截面是圆面(黄色圆面). 截面圆：平面截球面所得图形是圆. 截面的性质： 大小圆的定义： 1.大圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆.如⊙O(浅蓝色圆面）. o 2.小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.如⊙O′(黄色圆面）. 探究点 球的切线 直线与球相切：当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点. 问题：过球外一点P，有无数条切线，那么所有切线长都相等吗？所有切点组成什么图形？ ① ② 提示：如图 ① 可知 ，AP为定值， 这说明，过球外一点的所有切线长都相等， 这些切点的集合是一个圆. 13 球的表面积 设球的半径为R，它的体积由半径R惟一确定，也是以R为自变量的函数 定理：半径为R的球的表面积是： 球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数 定理：半径为R的球的体积是： 解： 圆锥 因为 所以，冰激凌融化了，不会溢出杯子. V半球<V圆锥 例1.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？（假设冰激凌融化前后体积不变） 12 cm 4 cm 例2.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，求钢球的半径. 3cm 3cm 解： 设钢球半径为 ,则由题意有 解得 答：钢球的半径为 例3.已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面积. 解:设截面圆心为O',连结OA, 设球半径为R .则: 课外阅读：球外接、内切 球与多面体的内切、外接 类型：内切球、棱切球、外接球 内切球：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，称这个球是这个多面体的内切球，这个多面体是这个球的外切多面体. 棱切球：若一个多面体的各棱都与一个球的球面相切，称这个球是这个多面体的棱切球. 外接球：一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，称这个球是这个多面体的外接球，这个多面体是这个球的内接多面体. 多面体在球体内 多面体在球体外 LOGO 21 （1）正方体 切点：各个面的中心. 球心：正方体的中心. 直径：相对两个面中心连线. 直径等于正方体的棱长. ①内切球 • O O • ②棱切球 O • • O 切点：各棱的中点. 球心：正方体的中心. 直径： “对棱”中点连线 直径等于正方体一个面的对角线长. ③外接球 O A B C D O • A B C D 直径等于正方体的体对角线长. a是正方体棱长 球心：正方体的中心. 直径： 体对角线 LOGO 22 例1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。 A B C D D1 C1 B1 A1 O 分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。 A B C D D1 C1 B1 A1 O O • A B C D O A B C D 解： 作出截面图如图示. 由图可知，球的直径等于正方体的体对角线长，即 ∴ 球的表面积为 14π   LOGO 24 • O O • A 解： 作出截面图如图示. 由图可知，球的直径等于正方体的棱长，即 2R = 2，∴R = 1. ∴ 球的体积为 LOGO 25 1.熟练掌握球的体积、表面积公式： 课堂小结 2.影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径. 例1已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为___