6.6.2柱、锥、台的体积（课件+练习）-【超级课堂】2022-2023学年高一数学教材配套教学精品课件+分层练习(北师大版2019必修第二册）

6.6.2 柱、锥、台的体积 新课导入 瞧，多么宏伟壮观的金字塔！你能求出它的体积吗？ 看，这不是任慧楼吗？它们的体积怎么求？ 看，这不是我们的宿舍吗？它们的体积怎么求？ 祖冲之（ 公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。 5 祖暅，祖冲之之子，圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的“祖暅原理” （或刘祖原理）。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅的儿子祖皓，续传家学，后来也成了数学家。 6 思考：取一些书堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？ 从以上事实中你得到什么启发？ 柱体、锥体、台体的体积 祖暅原理 幂势既同，则积不容异 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等． 问题：两个底面积相等、高也相等的柱体（锥体）的体积如何？ S h S S 棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积． h 一、棱柱和圆柱 V柱体=sh 9 例1：有一堆规格相同的铁制六角螺帽，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问六角螺帽的体积是多少？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即: 10 类似的,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等. S为底面积,h为高. s s 等底面积、等高的锥体间的体积有何关系? 二、棱锥和圆锥 2．锥体体积 A B C C1 A1 B1 以三棱柱为例 版权声明 本资源盘由数学中国网站（www.mathschina.com）提供全部资源并全力支持出版、发行的电子出版物。少年智力开发报·数学专页、数学中国网站对该系列光盘拥有版权和总发行权。未经许可，任何组织或个人，不得以盈利为最终目的，非法拷贝、复制、解密该系列光盘，不得将其中的资源用于或者变相用于出版、发行之目的，否则将追究法律责任。 如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是Ｓ， 高是ｈ，那么它的体积是： 如果圆锥的底面半径是ｒ，高是ｈ，那么它的体积是： 　　 h S S Ｖ圆锥＝ πｒ２ｈ S h 初步应用 例2　埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥．塔高约146.6m，底面边长约230.4m．求这座金字塔的侧面积和体积．（精确到0.1） 解析：如图，高AC的长为146.6m，底面的边长为230.4m，BC的长为115.2m． 答：金字塔的侧面积约为85914.9m2，体积约为2594046.0m3． 师生活动：学生思考，写解题过程． 设计意图：应用圆柱的侧面积公式解决实际问题． 14 三、棱台和圆台 圆台的体积： 思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？ S为底面积， h为锥体高 S，S'分别为上、下底面面积，h 为台体高 S为底面积，h为柱体高 上底扩大 上底缩小 例3.已知一正四棱台的上底边长为4 cm,下底边长为8 cm,高为3 cm,求其体积. 解： 答：正四棱台的体积为112 cm3. = + + + + × 目标检测 例4：如图，所示的是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水面下放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？（π≈3.14） 解析：因为玻璃杯是圆柱形的， 这个圆柱的底面与玻璃杯的底面相同，是一直径为20cm的圆， 它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度． 所以铅锤取出后，水面下降部分实际上是一个小圆柱， 圆锥形铅锤的体积为　　　　　　　　 ＝60π（cm3）．   19 目标检测 例4：如图，所示的是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水面下放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？（π≈3.14） 解析：设水面下降的高度为xcm， 则小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x＝100πx（cm3） ， 所以60π＝100πx，解得x＝0.6， 即铅锤取出后，杯中水将下降0.6cm． 20 柱体、锥体、台体的表面积 各面面积之和 展开图 圆柱 圆台 圆锥 小结 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2