第13讲 函数的应用和函数模型（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第13讲 函数的应用和函数模型（精讲） 题型目录一览 ①求函数的零点和判断零点所在区间 ②与零点有关的参数问题 ③二分法的应用 ④常见函数模型Ⅰ-二次和分段函数 ⑤常见函数模型Ⅱ-指对幂函数 一、知识点梳理 1.函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 2.方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 3.零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 4.二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 5.用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）~（4）步.（ 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.） 6.几种常见的函数模型： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ，为常数且 反比例函数模型 ，为常数且 二次函数模型 ，，为常数且 指数函数模型 ，，为常数，，， 对数函数模型 ，，为常数，，， 幂函数模型 ，为常数， 7.解函数应用问题的步骤： (1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型; (3)解模：求解数学模型，得出结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 【常用结论】 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 二、题型分类精讲 刷真题 明导向 一、单选题 1．（2020·全国·统考高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ） A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 2．（2020·海南·统考高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 3．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 6．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______. 题型一 求函数的零点和判断零点所在区间 策略方法 1.确定函数零点个数的方法 2.判断函数零点所在区间的方法 【典例1】 已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【典例2】设方程，，的实数根分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的解在内，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点依次为，则（    ） A． B． C． D． 3．（