2023年中考数学二轮复习热点专题突破训练：因式分解

因式分解 1．如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因为4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，故4，12，20 都是神秘数． （1）写出一个除4，12，20之外的“神秘数”：　 　； （2）设两个连续偶数为2k和2k+2（k为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗？为什么？ （3）两个相邻的“神秘数”之差是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由． 2．阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为A2﹣B2的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：x4+4． 解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x） 即原式＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x） 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式：（1）4x4+1； （2）x4+x2+1． 3．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题： （1）写出图②中所表示的数学等式 　 　； （2）猜测（a+b+c+d）2＝　 　． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值； （4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 4．【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式①　 　； 【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）．根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为②a3﹣b3＝　 　（结果写成整式的积的形式） 【知识运用】已知a﹣b＝4，ab＝3，求a3﹣b3的值． 5．若一个四位数M的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“和差数”． 例如：M＝1514，∵（4+1）（4﹣1）＝15，∴1514是“和差数”． 又如：M＝2526，∵（6+2）（6﹣2）＝32≠25，∴2526不是“和差数”． （1）判断2022，2046是否是“和差数”，并说明理由； （2）一个“和差数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，且．当G（M），P（M）均是整数时，求出所有满足条件的M． 6．对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10． （1）判断61是否是“平方和数”，若是，请计算A（61）的值；若不是，请说明理由； （2）若T是一个“平方和数”，且A（T），求T的值． 7．材料1：对于一个四位自然数A，如果A满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大2，个位上的数字比十位上的数字大2，则称A为“阶梯数”．对于一个“阶梯数”A，把A的千位数字放在最右边，得到一个新的四位数B，规定：． 例如：A＝1324，因为3﹣1＝2，4﹣2＝2，所以1324是“阶梯数”；将A的千位数字1放在最右边，得到． 材料2：对于任意四位自然数（a，b，c，d均为整数），规定：M（N）． 根据以上材料，解决下列问题： （1）请判断3512、6846是不是“阶梯数”，请说明理由；如果是，请求出对应的G（A）的值； （2）已知C、D是“阶梯数”，其中C的千位数字为n（n是整数且1≤n≤7），十位数字为5；D的千位数字为4，个位数字为m（m是整数且5≤m≤9）．若M（C）+M（D）能被11整除且n＜m，求满足条件的G（D）的最大值． 8．若一个四位正整数若满足：a+c＝9或bd＝9，且各个数位上的数字都不为0，我们就称该数是“九天数”，如对于四位数3567，∵3+6＝9，∴3567是“九天数”，对于四位数2353，∵3×3＝9，∴2353是“九天数”，对于四位数2345，∵2+4≠9且3×5≠9，∴2345不是“九天数”． （1）判断2376，6425是不是“九天数”，并说明理由； （2）若一个“九天数”满足千位数字与百位数字的平方差是十位数字的平方，且这个“九天数”能被3整除．请求出所有满足条件的“九